Frações Algebricas

por L.Lawliet Ter 20 maio 2014, 12:02

Fale a expressão mais simples da fração abaixo, se {x≠ 1} e {n ∈ ℕ}

$\frac{x^n+2x^{n-1}+3x^{n-2}+...+(n-2)x^3+(n-1)x^2+nx+n+1}{x^{n+2}-(n+2)x+n+1}$

A resposta é (x-1)²

por Luck Ter 20 maio 2014, 18:32

No numerador temos uma P.A.G (progresão aritmo-geométrica):
N = (n+1) + nx + (n-1)x² + (n-2)x³ + ... + 3x^(n-2) + 2x^(n-1) + x^n
multiplicando pela razão da pg:
Nx = (n+1)x + nx² + (n-1)x³ + ... + 3x^(n-1) + 2x^n + x^(n+1)
subtraindo:
Nx - N = -(n+1) + x + x² + x³ + .... + x^n + x^(n+1)
N(x-1) = -(n+1) + x[x^(n+1) -1]/(x-1)
N = [-(n+1)/(x-1)] + [x^(n+2) - x]/(x-1)²
N = [(x-1)(-n-1) + x^(n+2) -x] / (x-1)²
N = [-nx -x + n + 1 + x^(n+2) - x ]/ (x-1)²
N = [x^(n+2) -(n+2)x + (n+1)]/(x-1)²

S = ([x^(n+2) -(n+2)x + (n+1)]/(x-1)²) /[x^(n+2) -(n+2)x + (n+1)]
S = 1/(x-1)²
S = (x-1)^(-2)