Dúvida em Limite

por **Pietro di Bernadone** Sáb 03 maio 2014, 21:16

Por favor, alguém pode me explicar como resolver o limite abaixo?

$Dúvida em Limite Gif$

por **mauk03** Sáb 03 maio 2014, 22:23

Por L'hopital:
$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\frac{\tan x-1}{x-\frac{\pi }{4}}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\frac{(\tan x-1)'}{(x-\frac{\pi }{4})'}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\frac{\sec ^{2}x}{1}=\sec ^{2}\frac{\pi }{4}=\left ( \sqrt{2} \right )^{2}=2$

por **Pietro di Bernadone** Sáb 03 maio 2014, 22:51

Mauk03, se possível utilizando a definição de limite porque nessa etapa do curso ainda não vi L'Hopital.

Obrigado

por **mauk03** Sáb 03 maio 2014, 23:44

Fazendo:
$u=x-\frac{\pi }{4}\Rightarrow x=u+\frac{\pi }{4}$

Tem-se que quando:
$x\rightarrow \frac{\pi }{4}$ , $u\rightarrow 0$

Observe que:
$\tan \left ( u+\frac{\pi }{4} \right )=\frac{1+\tan u}{1-\tan u}=\frac{\sin u+\cos u}{\cos u-\sin u}$

Limite fundamental:
$\lim_{u\rightarrow 0}\frac{\sin u}{u}=1$

Portanto:
$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\frac{\tan x-1}{x-\frac{\pi }{4}}=\lim_{u\rightarrow 0}\frac{\frac{\sin u+\cos u}{\cos u-\sin u}-1}{u}=\lim_{u\rightarrow 0}\frac{2\sin u}{u}\times \frac{1}{\cos u-\sin u}=2$

por dan_allvess Qui 08 maio 2014, 20:16

Um outro método interessante é fórmulas de transformação de soma em produto, será muito útil para resolver algumas integrais (lá na frente)!

Dúvida em Limite Clip_image006%5B6%5D_thumb

Onde, p=x e q= pi/4, pois tg(pi/4)=1

Tente fazer!

abraço!