Discussão de sistema

Discutir o sistema

x + y = m
x + my = 2
2x + my = 3

Resposta

m = (1+-V5)/2 ---> sistema compatível determinado

m diferente de (1+-V5)/2 ---> sistema incompatível

Esse tipo de sistema, vc resolve normalmente com apenas duas equações e depois susbstitui na outra:
x + y =m (i) ; x + my = 2 (ii) ; 2x + my = 3 (iii)

(ii) - (i) : y(m-1) = 2-m ∴ y =(2-m)/(m-1)

x= m- y ∴ x = (m²-2)/(m-1)

substituindo em (iii):

2[(m²-2)/(m-1)] + m[(2-m)/(m-1)] =3
2m² - 4 + 2m -m²= 3(m-1)
m² - m - 1 = 0 
m = (1±√5)/2 (S.P.D) ; m # (1±√5)/2 (S.I)

x + y = m ----> y = m - x ----> I

x + my = 2 ---> x + m.(m - x) = 2 ---> x - mx + m² = 2 ---> II

I em II ----> x.(1 - m) = 2 - m² ----> x = (m² - 2)/(m - 1)

I ---> y = m - x ---> y = m - (m² - 2)/(m - 1) ---> y = (2 - m)/(m - 1) 

2x + my = 3 ---> 2.(m² - 2)/(m - 1) + m.(2 - m)/(m - 1) = 3 ----> (2m² - 4)/(m - 1) + (2m - m²)/(m - 1) = 3 --->

(m² + 2m - 4)/(m - 1) = 3 ---> m² + 2m - 4 = 3m - 3 ----> m² - m - 1 = 0

Raízes: m = (1+-V5)/2

Luck e Mestre Elcioschin

Obrigado pelas resoluções, todavia, fica a dúvida ainda, porque o problema pede para discutir o sistema, e não apenas resolvê-lo. O livro de onde extraí essa questão pede para resolver o sistema através de um escalonamento das equações, onde são analisadas as três hipóteses possíveis: sistema determinado, sistema indeterminado e sistema impossível. Sei que obtendo as raízes, sabemos que o sistema é determinado, mas e os números diferentes das raízes ? Como ter certeza se existe ou não algum número que indique que o sistema é indeterminado ?

Escalonando o sistema

1 .... 1 ..... m
1 .... m ..... 2 ----> L2 - L1
2 .... m ..... 3 ----> L3 - 2.L1

1 .... 1 ..... m
0 .. m-1 .. 2-m
0 .. m-2 .. 3-2m

L2 ----> (m - 1).y = 2 - m ----> y = (2 - m)/(m - 1) ---> m ≠ 1

L3 ----> (m - 2).y = 3 - 2m ---> y = (3 - 2m)/(m - 2) ---> m ≠ 2


(2 - m)/(m - 1) = (3 - 2m)/(m - 2)

(2 - m).(m - 2) = (m - 1).(3 - 2m)

2m - 4 - m² + 2m = 3m - 2m² - 3 + 2m

m² - m - 1 = 0 ----> m = (1+-V5)/2

Mestre Elcioschin

Muitíssimo obrigado !

Acho que o meu livro não deu um critério seguro para a discussão de sistemas. Da forma como foi explicado, no seu sistema escalonado, se m é diferente de 1 ou 2, qualquer que seja m, teríamos um sistema compatível determinado, pois não apareceriam zeros em ambos os lados das equações na substituição de m, mas vimos que o sistema só é compatível e determinado se m for igual a (1+-V5)/2. O interessante é que o livro reconhece apenas essas raízes de m para o sistema ser compatível e determinado.

Mestre Elcioschin

Retomando essa questão, o senhor demonstrou que m não pode ser igual a 1 ou 2. Na verdade, m não pode ser igual a nenhum número diferente das raízes (1 +-V5)/2, pois o sistema ficaria incompatível. Teria como provar isso ?