Primeira parcela da equação deve ser nula?

por carlosr Ter 07 Jan 2014, 02:43

Resolvendo um exercício me deparei com a seguinte afirmação que não consegui compreender o motivo, "para que o limite exista a primeira parcela da equação deve ser nula...". Eis a questão e sua resolução:

Calcule "k" para que esse limite exista:

Resolução:

Resolvemos a expressão primeiramente usando a racionalização:

Primeira parcela da equação deve ser nula? J552

Para que o limite exista, a primeira parcela da equação acima deve ser nula, ou seja, k = 1/2
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Primeira parcela da equação deve ser nula? 89hx

Por que para que o limite exista a primeira parcela da equação deve ser nula?

por **Euclides** Ter 07 Jan 2014, 03:27

Acho que ele pulou uma explicação importante. O limite deveria ser

$\\\lim_{n\to0}\frac{\sqrt{1+n}-(1+kn)}{n^2}=\lim_{n\to0}\frac{1-2k}{n(\sqrt{1+n}+(1+kn))}-\lim_{n\to0}\frac{k^2}{(\sqrt{1+n}+(1+kn))}$

porém

$\\\lim_{n\to0^+}\frac{1-2k}{n(\sqrt{1+n}+(1+kn))}\neq \lim_{n\to0^-}\frac{1-2k}{n(\sqrt{1+n}+(1+kn))}\\\\\\\therefore \nexists\;\;\lim_{n\to0}\frac{1-2k}{n(\sqrt{1+n}+(1+kn))}$

eis porque a primeira parcela deve ser zero: eliminar um limite inexistente.