Número Complexos Fuvest-2003

por Lost619 Sáb 28 Dez 2013, 18:11

Nos itens abaixo, z denota um número complexo e i a unidade imaginária (i 1 2 = − ). Suponha z ≠ i .

b) ) Determine o conjunto de todos os valores de z para os quais " z + i/1 + iz "é um número real

por **Bá Poli** Sáb 28 Dez 2013, 18:45

z = a + bi

(a+bi +i)/[(a+bi)i +1] =
multiplicando numerador e denominador por [(1-b) -ai], temos que a parte imaginária do número é:
$i\frac{ (a^2 +b^2 -1)}{(b^2-2b+1+a^2)}$

Para que o número seja real, devemos ter:
a² + b² - 1 = 0
a² + b² = 1
$\therefore \left | z \right |=1$
As soluções são os números complexos que tem módulo igual a 1.

por PedroCunha Sáb 28 Dez 2013, 18:47

Veja:

Do enunciado:

(z+i)/(1+iz)

Multiplicando pelo conjugado em cima e em baixo:

[(z+i) * (1-iz)]/(1² - i²z²)
[(z - iz² +i - i²z)]/(1 + z²)
[(z - iz² + i + z)/(1+z²)]
[2z + i*(1 - z²)]/(1+z²)

Para ser real:

(1-z²)/(1+z²) = 0
1 - z² = 0
z² = 1
|z| = 1

Logo:

S{ z ∈ C| |z| = 1, z ≠ i}

Att.,
Pedro

¹Obs.: A restrição z ≠ i vem do enunciado original da questão.

por **maico33LP** Sáb 28 Dez 2013, 18:49

Faça a regra da "racionalização"

z+i/1+iz.1-iz/1-iz

Teremos: (z - iz² + i + z)/1 -iz +iz + z²

[2z +i(-z²+1)]/z² = 0

Para ser real basta zerar a parte imaginária;

-z² +1 = 0

z =1
z =-1

Creio ser isso

por Lost619 Sáb 28 Dez 2013, 19:21

Obrigado

por karolinycbm Qui 22 Out 2015, 17:24

Para quais valores de z tem-se que z+i/1+iz (tudo isso igual) a 2? Essa é a letra A dessa questão, alguém poderia me ajudar, por favor?

por **Elcioschin** Qui 22 Out 2015, 18:31

Você não está respeitando as Regras do fórum: é proibido postar uma nova questão num tópico existente.

Você deve abrir um NOVO TÓPICO

por karolinycbm Qui 22 Out 2015, 18:39

Elcioschin escreveu:Você não está respeitando as Regras do fórum: é proibido postar uma nova questão num tópico existente.

Você deve abrir um NOVO TÓPICO

Me perdoe, mas postei aqui por trata-se da mesma questão com a mesma condição z diferente de 1, no entanto era a alternativa A. Nao quis desrespeitar a nenhuma regra. De qualquer forma outra pessoa leu a questao que eu postei e ja me ajudou, muito obrigada.