Princípio da Indução Finita
2 participantes
Página 1 de 1
Princípio da Indução Finita
por Adam Zunoeta Ter 03 Dez 2013, 20:13
Princípio da Indução Finita
Mostre que para todo número natural n>=1 vale a relação:
Mostre que para todo número natural n>=1 vale a relação:
Adam Zunoeta- Monitor
- Mensagens : 4223
Data de inscrição : 25/08/2010
Idade : 34
Localização : Cuiabá
Re: Princípio da Indução Finita
por Luck Qua 04 Dez 2013, 00:19
Por indução,para n = 1:
1³ = 1(2.1 -1) ok
supondo válido para n:
1³ + 3³ + 5³ + ... + (2n-1)³ = n²(2n²-1) (I)
n-> n +1:
1³ + 3³ + 5³ + ... + (2n-1)³ +(2n+1)³= (n+1)²(2(n+1)²-1)
somando (2n+1)³ em (I):
1³ + 3³ + 5³ + ... + (2n-1)³ +(2n+1)³= n²(2n²-1) + (2n+1)³
desenvolvendo:
= 2n^4 +8n³+11n²+6n+1 , -1 é raíz, por briot-ruffini:
= (n+1)(2n³+6n²+5n+1) , note que -1 é raíz (raíz dupla), reduzindo novamente por briot-ruffini:
= (n+1)²(2n²+4n+1)
=(n+1)²(2(n² + 2n+1) - 1 )
= (n+1)²(2(n+1)²-1) , c.q.d
1³ = 1(2.1 -1) ok
supondo válido para n:
1³ + 3³ + 5³ + ... + (2n-1)³ = n²(2n²-1) (I)
n-> n +1:
1³ + 3³ + 5³ + ... + (2n-1)³ +(2n+1)³= (n+1)²(2(n+1)²-1)
somando (2n+1)³ em (I):
1³ + 3³ + 5³ + ... + (2n-1)³ +(2n+1)³= n²(2n²-1) + (2n+1)³
desenvolvendo:
= 2n^4 +8n³+11n²+6n+1 , -1 é raíz, por briot-ruffini:
= (n+1)(2n³+6n²+5n+1) , note que -1 é raíz (raíz dupla), reduzindo novamente por briot-ruffini:
= (n+1)²(2n²+4n+1)
=(n+1)²(2(n² + 2n+1) - 1 )
= (n+1)²(2(n+1)²-1) , c.q.d
Luck- Grupo
Velhos amigos do Fórum
- Mensagens : 5322
Data de inscrição : 20/09/2009
Idade : 31
Localização : RJ
Adam Zunoeta- Monitor
- Mensagens : 4223
Data de inscrição : 25/08/2010
Idade : 34
Localização : Cuiabá
Tópicos semelhantesPágina 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
