Números Complexos

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Os objetos localizados por um radar aparecem em sua tela como pontos pertencentes a círculos concêntricos espaçados regularmente de r quilômetros, sendo r o raio do menor círculo, como na figura.  Identificando os pontos M e N com os afixos de dois números complexos cujos argumentos principais são, respectivamente, iguais a pi/6 e 2pi/3 , e o ponto O com a origem do sistema de coordenadas, pode-se afirmar que o centro da circunferência circunscrita
ao triângulo OMN é afixo de um número complexo de módulo m e argumento principal θ , respectivamente, iguais a:

a) 8r e arcos (4.3^1/2 - 3)/2
b) 7r e arcsen (3.3^1/2 + 3)/10
c) 7r e arcos (4.3^1/2 - 3)/10
d) 5r e arcsen (3.3^1/2 + 3)/2
e) 5r e arcos (4.3^1/2 - 3)/10

Spoiler:

Eu tentei faze-la novamente e consegui. Vou deixar minha resolução, caso interesse a alguém que não conseguiu:
Primeiro sugiro determinar as coordenadas dos pontos M e N em função de r, usando as relações trigonometricas de seno e cos nos triangulos formados por esses pontos com os eixos das abscissas e ordenadas. O objetivo vão entender mais adiante.
É fácil perceber que o triângulo OMN é retangulo por causa dos ângulos formados por M(30) e N(120) com as abscissas. Logo, o lado MN, que é o diametro do circulo circunscrito, mede 10r. Pois (MN)^2 = (6r)^2 + (8r)^2.
Dai o raio do circulo circunscrito é 5r. Como o afixo do complexo pedido está no centro da circunferencia, e o ponto 0 do plano xy é um ponto das ''bordas'' da circunferencia, o seu modulo(''distância'') é 5r em relaçao ao ponto 0 do plano. Agora é só achar as coordenadas do centro da circunferencia (a,b), usando as 3 coordenadas (M,N,O) que são dadas, na equação geral da circunferencia [ R^2= (x-a)^2 + (y-b)^2 ]. O ponto 0 do plano (0,0) vai nos fornecer que a^2 + b^2 = R^2. O ponto M (4(3^1/2)r, 4r) e o N (-3r, 3(3^1/2)r) vão nos fornecer, respectivamente: 8r= (3^1/2)a + b e 6r= (3^1/2) - a. Resolvendo o sistema, fica que a= [4(3^1/2) - 3]r/2 . Para acharmos o cos de teta fica cost = a/5r. Finalmente, temos que cost = [4(3^1/2) - 3]/10. Olhando assim acho que fica um pouco complicado de entender, mas não consegui desenhar no pc. Desenhar no plano vai ajudar a entender com certeza. Espero ter ajudado alguém. Bons estudos!