Números complexos

por mahriana Sáb 16 Fev 2013, 12:25

Mostre que todo complexo de módulo unitário e com parte real diferente de 1 pode ser escrito na forma abaixo, sendo k um número real arbitrário

$\mathbf{\frac{k +i}{k-i}}$

por **JOAO [ITA]** Sáb 16 Fev 2013, 18:19

Queremos saber em que condições a expressão acima pode representar um complexo do tipo
x + y.i:

Que é a condição inicial do problema (como todas as passagens foram de "se e somente se", a ida e a volta valem sempre).

Obs: Pode-se fazer isso pois 1 - x² = y² ≥ 0 e, com isso, a fração torna-se sempre positiva.

por Luck Sáb 16 Fev 2013, 18:33

Excelente solução João, questão boa..

por wstroks Sáb 16 Fev 2013, 18:40

Luck escreveu:Excelente solução João, questão boa..

faço as palavras do Luck a minha ...

por **Emanuel Dias** Dom 21 Jun 2020, 16:45

É possível recuperar a resolução?

por **Elcioschin** Dom 21 Jun 2020, 18:22

Não sei se é possível recuperar. Mas eis uma solução

......k + i ... (k + i).(k + i) ... k² - 1 + 2.k.i .... k² - 1 .......2.k
z = ------ = ---------------- = --------------- = -------- + ----------*i
......k - i .... (k - i).(k + i) ........ k² + 1 ......... k² + 1 ... (k² + 1)

.......... (k² - 1)² ...... (2.k)² ...................(k²)² - 2.k² + 1 + 4.k²
|z|² = ----------- + ------------ ---> |z| = ---------------------------
......... (k² + 1)² .... (k² + 1)² ......................... (k² + 1)²

......... (k² + 1)²
|z|² = ----------- ---> |z|² = 1 ---> |z| = 1 ---> OK
..........(k² + 1)²

por **Emanuel Dias** Dom 21 Jun 2020, 18:59

Elcioschin escreveu:Não sei se é possível recuperar. Mas eis uma solução

......k + i ... (k + i).(k + i) ... k² - 1 + 2.k.i .... k² - 1 .......2.k
z = ------ = ---------------- = --------------- = -------- + ----------*i
......k - i .... (k - i).(k + i) ........ k² + 1 ......... k² + 1 ... (k² + 1)

.......... (k² - 1)² ...... (2.k)² ...................(k²)² - 2.k² + 1 + 4.k²
|z|² = ----------- + ------------ ---> |z| = ---------------------------
......... (k² + 1)² .... (k² + 1)² ......................... (k² + 1)²

......... (k² + 1)²
|z|² = ----------- ---> |z|² = 1 ---> |z| = 1 ---> OK
..........(k² + 1)²