Soma de n³
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Adam Zunoeta- Monitor
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Re: Soma de n³
por Luck Seg 07 Out 2013, 16:23
Uma boa maneira para calcular esse tipos de somas, é tentar quebrar em termos consecutivos, que daí vc pode usar o teorema das colunas, vc encontra essa ideia no livro de combinatória do morgado. Tem vários outros modos de demonstrar a soma dos cubos, dos quadrados etc, mas acho essa uma das melhores:
k³ = A(k+2)(k+1)k + B(k+1)k + Ck + D
k³ = A[k³ + 3k² + 2k] + B[ k² + k ] + Ck + D
k³ = Ak³ + (3A+B)k² + k(2A + B+C) + D , identidade de polinômios:
A = 1 , 3A+B = 0∴ B = -3
2A + B + C = 0 ∴ C = 1 , D = 0 , logo:
∑k³ = ∑(k+2)(k+1)k -3∑(k+1)k + ∑k
∑k³ = ∑3!C(k+2,3) - 3∑C2!(k+1,2) + n(n+1)/2 , pelo teorema das colunas:
∑k³ = 6C(n+3,4) -6C(n+2,3) + n(n+1)/2
calculando isso vc acha S = (n(n+1)/2)²
k³ = A(k+2)(k+1)k + B(k+1)k + Ck + D
k³ = A[k³ + 3k² + 2k] + B[ k² + k ] + Ck + D
k³ = Ak³ + (3A+B)k² + k(2A + B+C) + D , identidade de polinômios:
A = 1 , 3A+B = 0∴ B = -3
2A + B + C = 0 ∴ C = 1 , D = 0 , logo:
∑k³ = ∑(k+2)(k+1)k -3∑(k+1)k + ∑k
∑k³ = ∑3!C(k+2,3) - 3∑C2!(k+1,2) + n(n+1)/2 , pelo teorema das colunas:
∑k³ = 6C(n+3,4) -6C(n+2,3) + n(n+1)/2
calculando isso vc acha S = (n(n+1)/2)²
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