Parábola

Dada a parábola y² -4x- 2y= 3

1- Determine seu vértice e foco;
2- Determine a equação da reta t tangente à parábola dada no ponto (0, 3);
3- Determine a equação da reta h horizontal e passando pelo ponto (0 , 3);
4- Determine a equação da reta r passando pelo ponto (0 , 3) e pelo foco da parábola;e
5- Verifique que a reta t é uma bissetriz de r e h.



Como devo prosseguir nesta questão?

1)

y² -4x- 2y= 3    [completar o quadrado]

(y^2 - 2y + 1) = 4x + 3 + 1   [fatoração] [fator comum em evidencia]

(y - 1)^2 = 4(x+1) 

Para o vértice temos (-1, 1)

Lembrando que a equação é do tipo: " y^2 = 4Px " 4p=4 então P= 4/4 , P=1
Para o foco temos: (0, 1)

Até este resultado eu consegui chegar,porém do item 2 ao 5 estou com mais dúvidas de como proceder.Poderiam me orientar em como fazer o resto da questão?

Olá,

Como já calculado:

V( - 1, 1 ) e F( 0, 1 )

- tangente à parábola no ponto ( 0, 3 ) da mesma:

tangente -> reta definida como: y = m*x + b

então o ponto ( 0, 3 ) deve satisfazer a equação da parábola ->  3 = m*0 + b -> b = 3

logo:

equação da tangente -> y = m*x + 3

- para que y = m*x + 3 seja tangente então o discriminante da interseção com a parábola deve ser zero.

( y - 1 )² = 4*( x + 1 )

( m*x + 3 - 1 )² = 4x + 4

( m*x + 2 )² = 4x + 4

m²*x² + 4m*x + 4 = 4x + 4

m²*x² + ( 4m - 1 )*x = 0

∆= ( 4m - 4 )² = 0

m = 1

assim: reta tangente -> y = x + 3

- reta (h) horizontal que passa pelo ponto ( 0, 3 ) -> y = 3

- reta (r) que passa pelo ponto ( 0, 3 ) e pelo foco -> x = 0

temos então que (r) e (h)formam um ângulo reto e que a reta tangente possui coeficiente angular igual a 1 ( tangente de 45° ) então (t) é bissetriz de (r) e (h).

Muitíssimo obrigado pela ajuda!

Gostaria de tirar uma dúvida: de onde saiu o ponto (0 , 2) da reta horizontal h?

juares abreu escreveu:Gostaria de tirar uma dúvida: de onde saiu o ponto (0 , 2) da reta horizontal h?

Acho que ele digitou errado.

Uma dúvida:

Onde está    m²*x² + ( 4m - 4 )*x = 0
                     ∆= ( 4m - 4 )² = 0

Não seria
∆ = (4m -4)² - 4.1, pois ∆ = b² - 4ac

Olá juares e CASSIANE,

Como observado pelo Gustavo, houve um erro de digitação.

m²*x² + ( 4m - 4 )*x = 0
∆= ( 4m - 4 )² = 0

m²*x² + ( 4m - 4 )*x = 0


∆= ( 4m - 4 )² - 4*m²*0 = 0

∆ = ( 4m - 4 ) - 0 = 0

∆ = ( m - 4 )²