Números Complexos

por Caio Costa Ter Set 10 2013, 17:44

Mostre que todo complexo de módulo unitário e com parte real diferente de 1 pode ser escrito na forma abaixo , sendo k um numero real arbitrário.

z = k+i/(k-i)

por **Elcioschin** Ter Set 10 2013, 19:42

Multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador

Tire mmc = k² + 1

Separe parte real da imaginária obtendo z = a + bi

Calcule |z|² = a² + b² e prove que |z| = 1

por Caio Costa Ter Set 10 2013, 19:58

Fiz isso. Achei a= k²-1/k²+1 e b= 2k/ k²+1.Confere?
Porém tou com dificuldade de provar que a² + b² = 1. Poderia postar o final da resolução dessa questão?

por **Elcioschin** Ter Set 10 2013, 19:59

Poste a sua resolução completa, por favor

por Caio Costa Ter Set 10 2013, 20:09

Ok.
K+i (k+i) / k-1 (k+i)

k² + ki + ki + i² / k² -i²

k²+ 2ki -1 / k² +1

a = k²-1 / k²+1

b= (2k)i / k²+1

|z|²= a² + b²
1 = (k²-1 / k²+1)² + (2k) / k²+1.
A partir daí eu me enrolei um pouco na álgebra. Até aí tá ok?

por Caio Costa Ter Set 10 2013, 20:11

Esqueci de elevar o "b" ao quadrado, mas deu pra entender.

por **Elcioschin** Ter Set 10 2013, 21:53

Note que no seu enunciado aparecem parenteses apenas no denominador da fração (k - i)

Assim, o numerador da mesma fração somente pode ser i ---> se fosse (k + i) você esqueceu de colocar parentes

.. ....... i ....... (k + i) .......... i.(k + i) ......k.(k² - i²) + (i.k - 1)
k + ------- * --------- = k + ----------- = --------------------------
........ k - i ...(k + i) ............(k² - i²) ...............(k² + 1)

Por favor verifique qual é o modo certo