Área do quadrilátero

Acredito que estejam faltando dados.
A menor área do quadrilátero ocorre quando os quatro pontos são coplanares, isto é, área mínima ABCD = 4.
A maior área ocorre quando C estiver mais distante de A e B mais distante de D
área máxima ABCD = 4√3

Maluco, é seguinte há uma razoável de forma de resolver : por vetores
por vetores :
veja bem :
Primeiramente eu preciso determinar a figura como sendo um paralelogramo ( aqui não vejo figura alguma, mas presumo que todos saibamos de qual questão se trata, não ? )
Para isso os pontos que não são fixos, B e D, devem ser ''homólogos'', o que pressupõe que se eu ando para cima, em ralação a B, 2, em D, eu andaria 0 -- imaginando, obviamente, que isso fosse possível --, ou seja, se eu ando 2 em B, em C eu ando -2, que é 0, sacou ? Ok. 


OBS : talvez você não pegou isso : C e A são pontos fixos, invariáveis, enquanto que B e D não têm uma determinação para z, podendo, assim, variar em um intervalo. No entanto, para B, o intervalo nos foi dado : t.


Agora, imaginemos um ponto E que represente a extremidade da diagonal do quadrilátero ABCD. Essa diagonal representará a soma dos vetores( que eu representarei por v(x) )  v(BA) e v(BC), por isso, ela estará como extremidade ''no plano de D''.

Portanto, temos  :
v(BE) = E - B     -Coordenados de um vetor ( final - inicial )
Então,
E = v(BE) + B
E = v(BE) + (2,0,t)

Como v(BE) = v(BA) + v(BC) 
v(BE) = ( A - B ) + ( C - B ) = ( 0, 2, -t ) + ( -2, 0, 2-t ) = ( -2, 2, 2 - 2t )

Cara, isso é lógico e foi o que eu te disse, se para eu ter um paralelogramo aqui, B e D devem ser ''homólogos'', o que quer dizer que se eu ando 2... e blá blá, ou seja, B e D devem representar a extremidade da diagonal em questão daquele paralelogramo, que é v(BE), para isso, E deve coincidir com D.

Mas, maluco, D = ( 0, 2, z ( porque não sei que é ) ) e E = ( 0, 2, 2-t). Percebeu que o x e y dessas coordenadas são iguais ? isso pressupõe que o z de E só varia em relação ao eixo 0z, certo ? Mas D não varia também em 0z ? Isso significa que z = 2 - t. 
Agora, analisa : se tenho, para B uma variação de t, para D eu tive uma variação... de 2-t, viu ? Veja bem : t E [ 0,2 ] ( t pertence ao intervalo de 0 e 2 ),o que significa que o t é andar 2, mas quando eu ando 2 em B, em D, eu tenho que andar -2, que é -t. Agora olha para z e tenta raciocinar. Se você não entendeu, vamos fazer outra coisa.

Ok. Agora basta fazer o algoritmo que determina o produto vetorial de v(BA x v(BC), para, em seguida, tirar o módulo desse produto, que representa a área de um paralelogramo.

OBS : Como eu acho que você não sabe do que eu estou falando, saiba que a área de um paralelogramo é o módulo do  produto vetorial dos lados consecutivos do paralelogramo : | v(BA) x v(BC) |

Continuando, tu vai fazer o algoritmo lá e tals e tem que chegar nessa budega aqui : ( 4-2t)i + ( 2t ) J + 4K , onde i, J, e K representam vetores unitários ( pertencem à fórmula também, aliás ). isso aí é igual a isso aqui = ( 4-2t, 2t, 4)
 
Agora é só tirar o módulo das coordenadas do disso 
OBS : vou representar raiz quadrada como sendo r( x )

r( 8t^2 - 16t + 32 )

Maluco, agora você tem que tirar o valor mínimo dessa função, porque tu quer a área mínima. 

o valor mínimo vai ser dado pelo vértice dessa função, aí tu escola ou o Xv ou o Yv 

Xv = -b/2a 
então, Xv = -(-16) / 2 . 8 = 1 = t

Substituindo t, tu chega em r(24) = 2 . r(12)

 fonte : Portal da Matemática : vá em Vetores em R2 e R3 e clica no primeiro exercício de produto vetorial.

Observe a figura a seguir.

 
Ela representa um cubo de aresta 2, seccionado pelo plano ABCD; B = (2,0, t) e t varia no intervalo [0, 2]. Determine a menor área do quadrilátero ABCD.

Alguém pode explicar de maneira um pouco mais formal?

Eduardo

o ponto B excursiona pela aresta ao qual pertence. Os pontos A e C estão fixos nos respectivos vértices. E qual é a posição do ponto D? O enunciado não informa mas vou entender que ele também excursiona dentro da sua aresta em "balanço" com o ponto B.

Assim sendo, a menor área de tal quadrilátero ocorre quando a figura formar um losango (quadrado), i.e., quando os pontos B e D forem médios das respectivas arestas.

a diagonal BD = 2√2
a diagonal AC = 2√3

.:. área = BD*AC/2 = (1/2) * 2√2 * 2√3 = 2√6

Obrigado Medeiros. Tenho duas dúvidas. É demontrável que a menor área ocorre quando se forma um losango? Também pensei nisso, mas queria demonstrar matematicamente. E o que significa a abreviação 'i.e.'?

Olá Eduardo.

como você pode ter notado, não simpatizei lá muito com o enunciado, tanto é que empreguei a expressão "vou entender que...".

1. 
são formas reduzidas de expressões latinas:
i.e. =  id est (latim) = isto é, em outras palavras, ou seja, ...
e.g. = exempli gratia (latim) = para dar um exemplo, exemplo dado, por exemplo. É muito usado em inglês, que eles dizem exemple given)
et al = et alii (latim) = e outros. Muito usado em citação bibliográfica para indicar que a obra tem mais autores além do único citado. A ABNT normatiza que são citados até 3 autores por obra; quando houver 4 ou mais, apenas o autor principal é citado seguindo-se a expressão et al. (pesquise). Um exemplo é o livro russo Problemas y Ejercicios de Analisis Matematico do Demidovich (na verdade são 8 autores)
apud (latim) = citado por. Esta é uma citação da citação (pesquise).

2.
para mim é visualmente claro que a menor área ocorre na formação do losango e nem fui procurar uma formalização matemática que achei seria muito complicada (pelo menos para mim). Mas se vc deseja uma consideração matemática penso da seguinte forma:

consideremos inicialmente os pontos B e D no vértice do cubo que lhe são mais próximos da posição dada na figura. Nestas condições a área do quadrilátero (um retângulo) será
CD*CB = 2*2√2 = 4√2 ≈ 5,66

Agora vamos excursionar esses pontos ("em balanço") através das respectivas arestas. Ao fazer isso vamos diminuindo a área do retângulo, e quando os pontos estiverem na metade da aresta teremos a área mínima pois a partir desse ponto a área volta a crescer. Neste ponto médio a área é
S = 2√6 ≈ 4,90

podemos perceber que 2√6 < 4√2

Sinceramente, não me preocupei em achar uma expressão algébrica na forma de uma parábola para descobrir que o mínimo se dá no ponto médio.

Abç.