geometria plana

Em um triângulo de vértices A, B e C, retângulo em A, os 
catetos AB e AC medem respectivamente 6 3 e 6 cm cm , 
traça-se o segmento AM, sendo M pertencente e interno ao 
segmento BC. Sabendo-se que o ângulo MÂC = 15°, a razão 
entre as áreas dos triângulos AMC e ABC, respectivamente é:

Área de ABC = 3.6/2 = 9

Seja P o pé da perpendicular de M sobre AC:

MP/PC = AB/AC ----> MP/PC = 3/6 ----> MP = PC/2 ----> I

tg15º = tg(45º - 30º) = (tg45º - tg30º)/(1 + tg45º.tg30º) = (1 - \/3/3)/(1 + 1.\/3/3) = (3 - \/3)/(3 + \/3) = 2 - \/3

tgMÂC = MP/AC ----  tg15º = MP/AP ----> 2 - \/3 = MP/AP ---> MP = (2 - \/3).AP ---> II

I = II ----> PC/2 = (2 - \/3).AP ----> PC = (4 -2.\/3).AP

AP + PC = AC ---> AP + (4 - 2.\/3).AP = 6 ---> (5 - 2.\/3).AP = 6 ---> AP = 6/(5 - 2.\/3) ---> AP = (30 + 12.\/3)/13

II ---> MP = (2 - \/3).AP ---> MP = (2 - \/3).(30 + 12.\/3)/13 ---> MP = (24 - 6.\/3)/13

Área de AMC = AC.MP/2 = 6.[(24 - 6.\/3)/13]/2 = (72 - 18.\/3)/13

S(AMC)/S(ABC) = [(72 - 18.\/3)/13]/9 = (8 - 2.\/3)/13 


Por favor, confira as contas

Elcioschin,desculpe mas houve um erro na hora de editar a questão na verdade as medidas do catetos são realmente ab=6v3 e Ac=6