Geometria Plana II

por leovcara Sex 04 Mar 2016, 18:34

Na figura abaixo, qual o valor de x, se BÂC = 70º ? A) 70º B) 60º C) 55º D) 65º E) 75º
Geometria Plana II 162a7sx

Agradeço desde já pela resolução do exercício, desconsiderem as anotações de grafite que não apagaram por completo

por **Euclides** Sex 04 Mar 2016, 18:53

Desde que as posições de B e C são desconhecidas, faltam elementos. Para perceber isso, mude a posição de um dos dois e o ângulo procurado irá se alterar.

por **Elcioschin** Sex 04 Mar 2016, 18:58

A solução vale para qualquer posição de B e C (informação desconhecida)

Para facilitar vamos fazes AB = AC, isto é, ABC é isósceles

Seja E o ponto de tangência do prolongamento de AB: trace OE
Seja U o ponto de tangência do prolongamento de AC: trace OU
Seja T o ponto de tangência de BC com a circunferência

A^BC = A^CB = 55º ---> C^BE = 125º ---> O^BC = 125/2 = 62,5º

Idem ---> O^CB = 62,5º

Nos triângulos retângulos OTB e OTC ---> BÔT = 90º- 62,5º ---> BÔT = 27,5º ---> idem CÔT = 27,5º

BÔC = BÔT + CÔT ---> x = 27,5º + 27,5º ---> x = 55º

por **Euclides** Sex 04 Mar 2016, 19:27

Elcioschin escreveu:A solução vale para qualquer posição de B e C (informação desconhecida)

Acho que não.

por **Elcioschin** Sex 04 Mar 2016, 19:44

Vou corrigir minha frase:

A solução vale para qualquer posição de B e C, desde que BC tangencie a circunferência

por **Euclides** Sex 04 Mar 2016, 19:49

Elcioschin escreveu:Vou corrigir minha frase:

A solução vale para qualquer posição de B e C, desde que BC tangencie a circunferência

Acordei da minha letargia... abração.

por leovcara Sex 04 Mar 2016, 19:55

Muito obrigado aos mestres que solucionaram a questão com tal rapidez Very Happy

por **Elcioschin** Sex 04 Mar 2016, 20:08

De qualquer modo, dá para provar para uma posição qualquer de B e C:

Sejam y = A^BC e z = A^CB, E, U, os pontos de tangência de ABE e ACU e T o ponto de tangência de BC com a circunferência

y + z + Â = 180º ---> y + z + 70º = 180º ---> y + z = 110º

E^BT = 180º - y ---> O^BT = E^BT/2 ---> O^BT = 90º - y/2 ---> BÔT = y/2

U^CT = 180º - z ---> O^CT = U^CT/2 ---> O^CT = 90º - z/2 ---> CÔT = z/2

BÔC = BÔT + CÔT ---> x = y/2 + z/2 ---> x = (y + z)/2 ---> x = 110º/2 ---> x = 55º