Geometria Plana
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Geometria Plana
por futuromilitar2 Qui 10 Ago 2017, 11:40
O lado de um triângulo equilátero de lado 3m é dividido em três partes iguais.Determinar os 3 ângulos que se obtêm unindo os pontos de divisão ao vértice oposto (as respostas devem ser dadas em termos de funções trigonométricas inversas).
futuromilitar2- Recebeu o sabre de luz
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Re: Geometria Plana
por Elcioschin Qui 10 Ago 2017, 13:45
Seja ABC o triângulo com AB = BC = AC = 3
Sejam D e E os pontos sobre o lado BC com AD = DE = CE = 1
Trace AD e AE e seja θ = BÂD = CÂE
BÂC = A^BC = A^CB = 60º
BÂD + DÂE + CÂE = 60º ---> θ + DÂE + θ = 60º ---> DÂE = 60º - 2.θ
A^DB + BÂD + A^BD = 180º ---> A^DB + θ + 60º = 180º ---> A^DB = 120º - θ
De modo similar ---> AÊC = 120º - θ
Triângulo ADE é isósceles (AD = AE) ---> A^DE = AÊD = (180º - DÂE)/2 --->
A^DE = AÊD = [180º - (60º - 2.θ)]/2 ---> A^DE = AÊD = 60º + θ
Lei dos senos no triângulo ABD (ou ACE):
AB/sen(A^DB) = BD/sen(BÂD) ---> 3/sen(120º - θ) = 1/senθ --->
3.senθ = 1.sen(120º - θ) ---> 3.senθ = sen120º.cosθ - senθ.cos120º --->
3.senθ = (√3/2).cosθ - senθ.(-1/2) ---> 6.senθ = √3.cosθ + senθ --->
5.senθ = √3.cosθ ---> tgθ = √3/5 ---> θ = arctg(√3/5)
Agora calcule tg(BÂD) = tg(CÂE) = tg(60º - 2.θ)
Sejam D e E os pontos sobre o lado BC com AD = DE = CE = 1
Trace AD e AE e seja θ = BÂD = CÂE
BÂC = A^BC = A^CB = 60º
BÂD + DÂE + CÂE = 60º ---> θ + DÂE + θ = 60º ---> DÂE = 60º - 2.θ
A^DB + BÂD + A^BD = 180º ---> A^DB + θ + 60º = 180º ---> A^DB = 120º - θ
De modo similar ---> AÊC = 120º - θ
Triângulo ADE é isósceles (AD = AE) ---> A^DE = AÊD = (180º - DÂE)/2 --->
A^DE = AÊD = [180º - (60º - 2.θ)]/2 ---> A^DE = AÊD = 60º + θ
Lei dos senos no triângulo ABD (ou ACE):
AB/sen(A^DB) = BD/sen(BÂD) ---> 3/sen(120º - θ) = 1/senθ --->
3.senθ = 1.sen(120º - θ) ---> 3.senθ = sen120º.cosθ - senθ.cos120º --->
3.senθ = (√3/2).cosθ - senθ.(-1/2) ---> 6.senθ = √3.cosθ + senθ --->
5.senθ = √3.cosθ ---> tgθ = √3/5 ---> θ = arctg(√3/5)
Agora calcule tg(BÂD) = tg(CÂE) = tg(60º - 2.θ)
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Geometria Plana
por Elcioschin Qui 10 Ago 2017, 13:54
Seja ABC o triângulo com AB = BC = AC = 3
Sejam D e E os pontos sobre o lado BC com AD = DE = CE = 1
Trace AD e AE e seja θ = BÂD = CÂE
BÂC = A^BC = A^CB = 60º
BÂD + DÂE + CÂE = 60º ---> θ + DÂE + θ = 60º ---> DÂE = 60º - 2.θ
A^DB + BÂD + A^BD = 180º ---> A^DB + θ + 60º = 180º ---> A^DB = 120º - θ
De modo similar ---> AÊC = 120º - θ
Triângulo ADE é isósceles (AD = AE) ---> A^DE = AÊD = (180º - DÂE)/2 --->
A^DE = AÊD = [180º - (60º - 2.θ)]/2 ---> A^DE = AÊD = 60º + θ
Lei dos senos no triângulo ABD (ou ACE):
AB/sen(A^DB) = BD/sen(BÂD) ---> 3/sen(120º - θ) = 1/senθ --->
3.senθ = 1.sen(120º - θ) ---> 3.senθ = sen120º.cosθ - senθ.cos120º --->
3.senθ = (√3/2).cosθ - senθ.(-1/2) ---> 6.senθ = √3.cosθ + senθ --->
5.senθ = √3.cosθ ---> tgθ = √3/5 ---> θ = arctg(√3/5)
Agora calcule tg(DÂE) = tg(60º - 2.θ)
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