Uma peça

por Gilpretinho Seg 08 Jul 2013, 17:49

Uma peça tem a forma de uma pirâmide de base quadrada conforme ilustra a figura abaixo.
Uma peça GKVJX3AAAAABJRU5ErkJggg==

Um artesão resolveu construir duas peças de mesmo volume cortando esta pirâmide de base quadrada com um plano paralelo à base ABCD. Se VD é perpendicular ao plano ABCD, VD = AD e K é o ponto onde esse plano intercepta a aresta VD. Determine a altura da peça na forma de tronco de pirâmide obtida com esse corte.
Gabarito Uma peça 4nmz4blKdTSBk6O8C+7YRPJekjaLwAAAABJRU5ErkJggg==

Uma peça 4nmz4blKdTSBk6O8C+7YRPJekjaLwAAAABJRU5ErkJggg==

por **adriano tavares** Seg 08 Jul 2013, 20:00

Olá,Gilpretinho.

Se os dois sólidos têm o mesmo volume, significa que a pirâmide menor forma pelo corte do plano, tem metade do volume da pirâmide.Como a razão entre volumes de sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança teremos:

$\frac{v}{V}=k^3 \Rightarrow \frac{\frac{V}{2}}{V}=k^3 \Rightarrow k^3=\frac{1}{2} \Rightarrow k=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

X--> altura da pirâmide menor

VD-x --> altura do tronco de cone.

Sendo os triângulos VDA e VKC semelhantes teremos:

$\frac{x}{VD}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}\Rightarrow x=\frac{\sqrt[3]{4}VD}{2}$

Logo, a altura do tronco é:

$VD-x \Rightarrow VD-\frac{\sqrt[3]{4}VD}{2}\Rightarrow \frac{(2-\sqrt[3]{4})VD}{2}$

por Gilpretinho Seg 08 Jul 2013, 23:42

Olá mestre Adriano boa noite. Daria para explicar:

K^3=1/2->?

Grato

por **adriano tavares** Ter 09 Jul 2013, 14:14

Olá,Gilpretinho.

O volume da pirâmide menor é metade do volume da pirâmide, ou seja, V/2.Como a razão de semelhança entre sólidos semelhantes é k³, teremos:

$\frac{\frac{V}{2}}{V}=k^3 \Rightarrow \frac{V}{2}.\frac{1}{V}=k^3 \Rightarrow k^3=\frac{1}{2}$

por Gilpretinho Ter 09 Jul 2013, 21:30

Tudo bem mas na sequência fica k = raíz cúbica de 4 dividido por 2? Daria para explicar que o resto entendi tudo

Grato

por **Elcioschin** Ter 09 Jul 2013, 21:40

Gil

Basta um pouquinho de imaginação:

k³ = 1/2 ----> k³ = 4/8 ----> k³ = 4/2³ ----> k = ∛4/2

por Gilpretinho Ter 09 Jul 2013, 22:03

Mestre é só transformar em fração equivalente para encaixar no referido gabarito. Então é isso.

Obrigadão Mestre bons sonhos e um forte abraço.

por **Elcioschin** Ter 09 Jul 2013, 22:14

GIl

Eu nem ví o gabarito
Eu simplesmente racionalizei, isto é, fiz desaparecer a raiz do denominador.
Para isto transformei o denominados numa potência de expoente 3 ----> A menor potência, (maior que que 2) é 8 = 2³

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