AFA-1996

O produto das raízes da equação :



Pertence ao conjunto dos números :

a)naturais e é primo

b) inteiros e é múltiplo de 4

c)Complexos e é imaginário puro

d)Racionais positivos e é uma fração imprópria.


Resposta:b

\/(A ± \/B) = \/x ± \/y ----> x = [A + \/(A² - B)]/2 , y = [A - \/(A² - B)]/2

\/(2 ± \/3) ----> A = 2, B = 3 ----> A² - B = 1 ----> x = 3/2----> y = 1/2

\/(2 + \/3) = \/(3/2) + \/(1/2) = (\/6 + \/2)/2 = 2.cos15º

\/(2 - \/3) = (\/6 - \/2)/4 = 2.sen15º

(2.cos15º)^x + (2.sen15º)^x = 4

Para x = 2 ----> 4cos²15 + 4.sen²15 = 4 -----> sen²15º + cos²15 = 1 ----> OK

Para x = - 2 ----> 1/4cos²15 + 1/4.sen²15 = 4 -----> (sen²15º + cos²15)/4.sen²15ºcos²15º) = 4 ---->

1/(2.sen15º.cos15º)² = 4 ----> 1/sen²30 = 4 ----> 1/(1/2)² = 4----> 4 = 4 ----> OK

Produto das raízes = 2.(-2) = - 4 ----> Inteiro e múltiplo de 4 ----> Alternativa B

Boa sacada Elcio! Outra solução:
Note que √(2 - √3 ) = 1/(√(2 + √3)  (basta 'desrracionalizar') . Entao seja √(2+√3)^x = t , temos:
t + (1/t) = 4 ∴ t² -4t + 1 = 0 ∴ t = 2 -√3 ou t = 2 + √3
√(2+√3)^x = 2 + √3 ∴ x = 2
√(2+√3)^x = 2-√3 ∴ √(2+√3)^x = (2+√3)^(-1) ∴ x = -2
P = 2.(-2) = -4