Máximos e Mínimos

É possívelfazer um retângulo com área máxima inscrito na elipse de equação (x^2)/16 + (y^2)/9 = 1 e que tenha seus lados paralelos aos eixos coordenados?
Justifique e, caso seja possível, calcule a medida de seus lados.

Vou colocar o que fiz até agora:

Seja P(x,y) um ponto sobre essa elipse. Como esse triângulo tem lados paralelos aos eixos coordenados, temos que sua área pode ser escrita como:

A = 2x . 2y = 4.x.y

Como P está sobre a elipse, podemos escrever que:



E, então:

(pode ser que eu tenha errado alguma conta).

Bastaria verificar se essa função tem ponto de máximo global? Ou não necessariamente?

Obrigada.

Legal Giiovanna, é isso. Você encontrou a função que descreve a área do retângulo procurado. Se ela tiver um máximo (único) então será possível o retângulo de área máxima.

Oi Euclides.

Fiz diferente, usei em função de x pois ficou mais fácil para derivar. Mas enfim, achei esse máximo único que seria no ponto x = V8 = 2V2.

Notei que a função A (que eu fiz, agora, em função de x) é definida apenas -4 <= x <= 4 (e ela é contínua). Então, pelo Teorema de Weierstrass, a função assume máximo e mínimo. Seria de se esperar, então, que conseguissemos achar um x e um y tal que a área desse retângulo seja máxima, certo?

Isso.