Equações de quinto grau com coeficientes emPG

Não só muito ligado em álgebra mas quando estava fazendo um exercício percebi algo interessante. Seja uma sequência de 5 elementos em pg com razão positiva e com o primeiro elemento(a0) positivo e diferente de zero, escrevemos a equação de quinto grau:
5
∑ a(n) *x^n=0 onde a sequência: a1 a2 a3 a4 a5 estão em Pg com uma razão r.
n=0

Fazendo algumas fatorações cheguei a:

(1+rx+r^2x^2)(x^3r^3+1) = 0

Assim, a parte de segundo grau não tem solução no plano real e a única solução será. x=-1/r

Talvez teorema: Se uma equação do quinto grau tem seus coeficientes em PG com as condições indicadas esta terá somente 3 soluções e somente uma no plano real.

Concordam comigo? Gostaria que completassem meu raciocínio.

Coloquei um polinômio de quinto grau com coeficientes em P.G crescente conforme a potência da variável decresce
P(x) = a*x^5+(a*r)*x^4+(a*r^2)*x^3+(a*r^3)*x^2+(a*r^4)*x+(a*r^5)
no Wolfran e obtive a seguinte fatoração:
P(x) = a.(r + x).(r² - r.x + x²).(r² + r.x + x²)

Além dos seguintes zeros:
x = -r
x = (r - i.(V3).r)/2
x = (r + i.(V3).r)/2
x = -[i.((V3).r - i.r)]/2
x = i.((V3).r + i.r)/2

O que certamente está de acordo com o 'Teorema das raízes complexas'.

Agora se o polinômio possuir coeficientes em P.G decrescente conforme a potência da variável decresce
P(x) = (a*r^5)*x^5+(a*r^4)*x^4+(a*r^3)*x^3+(a*r^2)*x^2+(a*r)*x+(a)
obtém-se a seguinte fatoração:
P(x) =a.(1+r x) (1 - r.x + r².x²) (1 + r.x + r².x²)
Bem como os zeros:
x = -1/r
x = (1 - i.(V3))/2.r
x = (1 + i.(V3))/2.r
x = -i.(V3 - i)/2.r
x = i.(V3 + i)/2.r
Todos diferentes.

Certo, não sabia que isso valia para o caso da PG decrescer com o polinômio. è interessante notar portanto que sempre dá somente uma raiz real. O que me diriam se a razão fosse negativa?

Para o caso de a P.G decrescer com o polinômio e a razão ser negativa ter-se-ia:

P(x) = (a*(-r)^5)*x^5+(a*(-r)^4)*x^4+(a*(-r)^3)*x^3+(a*(-r)^2)*x^2+(a*(-r)*x+(a) <=>
<=>P(x) = a - a.r.x+a.(r^2).x² - a.(r^3).x^3+a.(r^4).x^4 - a.(r^5).x^5 <=>
<=>P(x) = -a.(-1+r x).(1 - r.x + (r^2).x^2).(1 + r.x + (r^2).x^2)

Com os zeros:
x = 1/r
x = (1 - i.(V3))/2.r
x = (1 + i.(V3))/2.r
x = i.((V3) - i)/2.r
x = i.((V3) + i)/2.r

Certo. Então a conclusão que podemos tirar é a de que qualquer equação da forma:

5
∑ a(n) *x^m=0
n=0 onde a sequência: a1, a2, a3, a4, a5 é uma Pg com uma razão r diferente de 0. e com m=n, ou m=5-n tem somente uma solução real que será:
x = -r para m=5-n r>0
x = -1/r para m=n r>0
x=1/r para m=n r<0
x=r para m=n r<0

A relação entre as partes complexas também é bem clara, más eu estava preocupado só pelas raízes reais mesmo. Apesar de ser algo bem aplicado é realmente notável. Valeu JOAO, sua colaboração foi ótima, ainda há algo mais que pode ser discutido ?

É legal perceber que, para o caso em que P(x) = a.(r^n).x^n + a.(r^(n-1)).x^(n-1) +... + a, há uma forma rápida para chegar nesses resultados.

Igualemos o polinômio a zero para encontrar as raízes:

P(x) = a.(r^n).x^n + a.(r^(n-1)).x^(n-1) +... + a = 0 <=>
<=>(r.x)^n + (r.x)^(n - 1) + ... + 1 = 0

Fazendo a transformada z = r.x, tem-se:
z^n + z^(n - 1) + ... + 1 = 0

Ora, mas o primeiro membro da equação acima é, justamente, a soma dos termos da seguinte P.G: {1, z,(...),z^n}
Essa P.G possui razão 'z' além de '(n + 1)' termos.

Assim, pode-se fazer o seguinte desenvolvimento:
[z^(n + 1) - 1]/(z - 1) = 0 <=> z^(n + 1) - 1 = 0

Resolvendo a equação no campo dos Complexos (basta usar radiciação de Complexos), pode-se obter (n + 1) raízes (o que, certamente, está de acordo com o 'Teorema Fundamental da Álgebra'):
z = cis[(2.k.pi)/(n + 1)], com k = {0,1,(...),n}

Fazendo z = r.x para voltar à variável 'x', tem-se:
x = cis[(2.k.pi)/(r.(n + 1))], com k = {0,1,(...),n}

Agora sim!! Bem notado.