inequação logarítmica

por JuniorE Sáb 25 maio 2013, 10:17

Nesta inequação $\large x^{\frac{1}{logx}}.logx<1$ fiz substituindo log x por y e deu a resposta $\large 0<x<\sqrt[10]{10}$ . Mas tentei também colocando log em ambos os lados:

$x^{\frac{1}{logx}}.logx<1\\log(x^{\frac{1}{logx}}.logx)<log10\\\frac{1}{logx}.logx+log(logx)<log10\\log(logx)<log10-1\\log(logx)<log1\\logx<1\\0<x<10$

qual das respostas está correta?

por **Elcioschin** Sáb 25 maio 2013, 18:24

engjr

Condições de existência ----> x > 0 (logaritmando), x # 1 (0 não pode estar no denominador)

Assim, nenhuma das duas soluções atende, já que, em ambas 1 pertence ao intervalo mostrado.

Fazendo um novo teste com 2 ---> log2 ~= 0,3 ---> 1/0,3 ~= 3 --->
(2^3).0,3 < 1 ----> 2,4 < 1 ----> 2 não atende

Fazendo um teste com x = 1/2 ---> log(1/2) ~= - 0,3 ----> 1/(-0,3) ~= -3 --->

(1/2)^(-3).log(1/2) < 1 ---> (1/8 ).(- 0,3) < 1 ----> - 0,375 < 0,1 ----> x = 1/2 atende

por JuniorE Sáb 25 maio 2013, 20:25

Elcioschin, verifiquei aqui http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E%281%2Flog10%28x%29%29*log10%28x%29%3C1 e deu minha primeira solução. Mas achei estranho por que realmente o x não deve ser 1, certo? Creio que a solução seria $\large 0<x<\sqrt[10]{10}\,\,e\,\,x\neq1$