Lei do resfriamento de newton

por WNavarro Sáb 30 Mar 2013, 19:07

Lei do resfriamento de newton.

Um Termometro é removido de uma sala,em que a temperatura é de 70F,e colocado do lado fora, em que temperatura é de 10F.Após 0,5 minutos,o termomentro marcava 50F.Qual será a temperatura marcada no termometro no instante t=1minuto?Quanto tempo levará para termometro marcar 15F?

por **aryleudo** Sáb 30 Mar 2013, 20:14

WNavarro escreveu:Lei do resfriamento de newton.

Um Termometro é removido de uma sala, em que a temperatura é de 70F,e colocado do lado fora, em que temperatura é de 10F. Após 0,5 minutos, o termomentro marcava 50F. Qual será a temperatura marcada no termometro no instante t=1minuto? Quanto tempo levará para termometro marcar 15F?

DADOS
T_C = 70°F ---------------- {temperatura do corpo}
T_A = 10°F ---------------- {temperatura do ambiente}
∆t₁ = 0,5 min ------------ {primeiro intervalo de tempo}
∆t₂ = 1 min -------------- {segundo intervalo de tempo}
∆t₃ = ? ------------------ {terceiro intervalo de tempo}
∆T₁ = 50 - 70 = -20°F -- {primeira variação de temperatura}
∆T₂ = T_F - 70 = ? ------- {segunda variação de temperatura}
∆T₃ = 15 - 70 = -65°F -- {terceira variação de temperatura}
K = ? -------------------- {coeficiente de proporcionalidade}

SOLUÇÃO
Encontrando o coeficiente de proporcionalidade (K):
∆T₁ = K(T_C - T_A)∆t₁
- 20 = K(70 - 10).0,5
30K = - 20
K = - (2/3) min^-1

Qual será a temperatura marcada no termometro no instante t=1minuto?

Encontrando a temperatura (T_F):
∆T₂ = K(T_C - T_A)∆t₂
T_F - 70 = (-2/3)(70 - 10).1
T_F = (-2/3)60 + 70
T_F = - 40 + 70
T_F = 30°F

Quanto tempo levará para termometro marcar 15F?

∆T₃ = K(T_C - T_A)∆t₃
- 65 = (-2/3)(70 - 10)∆t₃
- 40∆t₃ = - 65
∆t₃ = 1,625 min

Fonte: http://www2.pelotas.ifsul.edu.br/denise/caloretemperatura/resfriamento.pdf

por WNavarro Dom 31 Mar 2013, 09:18

No gabarito está 36,67^oF e 3,06 minutos. Sad

por **aryleudo** Dom 31 Mar 2013, 10:45

COM O TRATAMENTO DIFERENCIAL

WNavarro escreveu:Lei do resfriamento de newton.

Um Termometro é removido de uma sala, em que a temperatura é de 70F,e colocado do lado fora, em que temperatura é de 10F. Após 0,5 minutos, o termomentro marcava 50F. Qual será a temperatura marcada no termometro no instante t=1minuto? Quanto tempo levará para termometro marcar 15F?

DADOS
T_C = 70°F ---------------- {temperatura do corpo}
T_A = 10°F ---------------- {temperatura do ambiente}
t₁ = 0,5 min ------------- {primeiro intervalo de tempo}
t₂ = 1 min --------------- {segundo intervalo de tempo}
t₃ = ? ------------------- {terceiro intervalo de tempo}
T₁ = 50°F ---------------- {primeira temperatura}
T₂ = ? ------------------- {segunda temperatura}
T₃ = 15°F --------------- {terceira temperatura}
K = ? -------------------- {coeficiente de proporcionalidade}

SOLUÇÃO

$\inline \\\frac{dT }{dt}=KT\Rightarrow \frac{dT}{T}=Kdt\\\\ \int_{T_{0}}^{T}\frac{dT}{T} = \int_{0}^{t}Kdt \Rightarrow \left [\ln T \right ]_{T_{0} }^{T}=\left [Kt \right ]_{0}^{t}\\\\ \ln\left [ \frac{T}{T_{0}} \right ] = Kt\Rightarrow \frac{T}{T_{0}} = e^{Kt}\\ T(t) = T_{0} e^{-Kt} \Rightarrow \boxed{T(t) = \left (T_{C}-T_{A} \right )e^{-Kt}}$

Encontrando o coeficiente de proporcionalidade (K):
∆T₁ = (T_C - T_A)e^Kt₁
50 = (70 - 10).e^0,5K
[60e^0,5K]² = (50)² -------------------------{Elevando ambos os membros a 2}
3600e^K = 2500
e^K = (25/36) ------------------------------{Aplicando ln em ambos os membros}
K = ln(25/36)
K ≈ - 0,36

Qual será a temperatura marcada no termometro no instante t=1minuto?

Encontrando a temperatura (T_F):
T₂ = (T_C - T_A)e^Kt₂
T₂ = (70 - 10).e^(-0,36).1
T₂ = 60e^-0,36
T₂ = 60.0,69
T₂ = 41,4°F

Quanto tempo levará para termometro marcar 15F?

T₃ = (T_C - T_A)e^-0,36t₃
15 = 60e^-0,36t₃
15 = 60e^-0,36t₃
e^-0,36t₃ = 15/60 --------------------------{Aplicando ln em ambos os membros}
-0,36t₃ = -1,39 ------------------------- {Multiplicando ambos os membros por "-1"}
t₃ = 1,39/0,36
t₃ = 3,86 min