Concavidade da parábola

Existe alguma maneira de demonstrar que o gráfico da função f(x) = ax^2 + bx + c, com a diferente de zero, é uma parábola com a concavidade voltada para baixo se a<0 e para cima se a>0? Sem fazer tabelas de pontos, de preferência.


A pergunta é mais sobre a concavidade da parábola e a relação com o "a" mesmo, admitindo que já se sabe que a função é uma parábola mesmo.


Postei aqui mas não tenho certeza se a questão faz parte daqui ou de álgebra do ensino médio.

Obrigada

não conheço outro modo,pois é o coeficiente de a é quem define a concavidade

O coeficiente de a? a é o coeficiente

Acredito que a única forma de saber se a concavidade será para cima ou para baixo é analisando o coeficiente 'a'.
Se o valor de 'a' é negativo (ou seja, a< 0), a concavidade será para baixo. Se o valor de 'a' é positivo (ou seja, a>0) a concavidade estará voltada para cima.

Um outro jeito de analizar é:

Quadradamos a função

f(x) = ax^2 + bx + c

f(x)= ((x+b/2a)^2)a-((b^2)/4a)+c

Para podermos "enxergar" melhor, vamos fazer:

g=b/2a e m=((-b^2)/4a)+c

e substituir na formula geral:

a(x+g)^2+m

Perceba que o sinal da parcela do lado esquerdo depende apenas do sina de "a", e que teremos o menor valor de (x+g)^2 quando x=-g, tornando (x+g)^2 = 0.Dai percebemos que o grafico da funcao tera um valor minimo ( se a>0 ) ou um valor maximo ( se a<0) quando x+g=0.
O valor minimo ocorre quando o grafico tem concavidade para cima, e o valor maximo ocorre quando o grafico tem concavidade para baixo.
Espero que seja isso!! hehe

Um meio de demostrar é por derivada

f(x) = ax² + bx + c -----> Derivando ---> f '(x) = 2ax + b

O valor máximo ou mínimo ocorre para f '(x) = 0 -----> 2ax + b = 0 ----> x = - b/2a

Notem que este é o valor da abcissa do vértice

Achando a derivada 2ª ----> f "(x) = 2a

Quando a > 0 ----> f "(x) > 0 -----> Valor mínimo ----> Concavidade para cima

Quando a < 0 ----> f "(x) < 0 ----> Valor máximo -----> Concavidade para baixo

Obrigada a todos

Aliás, agor eu entendo o que vocês quiseram dizer com coeficiente de a, era justamente o que eu queria provar