Simplificação

Simplifique a seguinte expressão:



Minha dúvida é: Eu fiz este item utilizando o Teorema das Raízes racionais, depois apliquei Briot-Ruffini e encontrei as outras raízes. Com isso, utilizei a forma fatorada e consegui realizR o exercício.

1) existe alguma outra forma mais fácil de fazer esse exercício? Não sei se o método da chave poderia ajudar em alguma coisa, nesse caso.

2) Como há uma restrição de valores de x, sabendo que não podemos dividir por zero, eu já poderia afirmar de cara que -1/2 e -2 são raízes de -x^3 -2x^2 + 4x +. 8? Aliás, -1/2 não é raiz da equação acima, mas sim da superior. Não sei se o enunciado está errado, mas 2 é raiz e não está na restrição.

Obrigada

Vc pode usar briot-ruffini mesmo como vc fez, ou fatorar ( briot-ruffini eu acho mais rápido)
Veja no numerador que -2 é raiz, entao (x+2) é fator, entao temos que forçar aparecer o (x+2):
2x³ + 9x² + 12x + 4
2x³ + 16 + 8x² - 32 + 12x + 24 + x²-4
2(x³+8 ) + 8(x²-4) + 12(x+2) + x²-4
2(x+2)(x² -2x+4) + 8(x+2)(x-2) + 12(x+2) + (x+2)(x-2)
(x+2)(2x² - 4x + 8 + 8x - 16 + 12 + x - 2)
(x+2) (2x² +5x+2)
(x+2)(x+2)(x+1/2)
(x+2)²(x+1/2)

No denominador para fatorar é a mesma ideia, por inspeção x = 2 e x= -2 sao raízes, entao (x+2)(x-2) é fator.
OBS: a restrição deveria ser x # 2 e x # -2

Obrigada! Tentei fatorar mas não consegui. Mais fácil mesmo usar Briot.