Integral por partes

por rareirin Qua 27 Fev 2013, 11:18

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Spoiler:

por **Iago6** Sáb 02 Mar 2013, 22:10

Por partes não, por frações parciais.

$\int \frac{x^2 + x -2}{3x^3 - x^2 +3x -1}= \\\\\\ x^2{ (3x - 1)} + { (3x -1)}= (3x-1)\left [(x^2 +1) \right ]$

$\frac{x^2 + x -2}{(3x-1)\left [(x^2 +1) \right ] } = \frac{A }{3x-1} + \frac{Bx+C}{(x^2 +1)} \\\\\\\ (x^2 + x -2) = A(x^2+1) + Bx(3x-1) + C(3x-1) \\\\ (x^2 + x -2) = A(x^2+1) + Bx(3x-1) + C(3x-1) \\\\ (x^2 + x -2) = Ax^2+A + 3Bx^2-B + 3Cx-C \\\\ (x^2 + x -2) = Ax^2+A + 3Bx^2-Bx + 3Cx-C \\\\ (x^2 + x -2) = x^2(A+3B) - x(B-3C) + (A-C) \\\\ \left\{\begin{matrix} A+ 3B =1\\ B-3C = -1\\ A-C = -2 \end{matrix}\right.\rightarrow \;\; \left\{\begin{matrix} \frac{(1-A) }{3}- 3C = -1\\ A -C = -2 \end{matrix}\right. \;\; \Longrightarrow \;\; \mathrm{A = - \frac{7}{5}, \;\; B =\frac{4}{5}, \;\; C = \frac{3}{5}}$

$\\ \frac{x^2 + x -2}{(3x-1)\left [(x^2 +1) \right ] } = \frac{A }{3x-1} + \frac{Bx}{(x^2 +1)}+ \frac{C}{(x^2+1)} \\\\\\ \frac{x^2 + x -2}{(3x-1)\left [(x^2 +1) \right ] } = \frac{-\frac{7}{5} }{3x-1} + \frac{\left ( \frac{4}{5} \right )x}{(x^2 +1)}+ \frac{\left ( \frac{3}{5} \right )}{(x^2+1)} \\\\\\ \int \frac{x^2 + x -2}{3x^3 - x^2 +3x -1}= \frac{-7}{5}\int \frac{dx}{(3x-1)}+ \frac{4}{5}\int \frac{xdx}{x^2+1} + \frac{3}{5} \int \frac{dx}{x^2+1}$

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