Movimento Harmônico Simples

por qwe qwe qwe Dom 10 Fev 2013, 18:05

A uma polia, de raio r e massa desprezível, está fixa uma barra de comprimento l e massa também desprezível com uma bola de massa m na extremidade. Existe um fio enrolado na polia que possui uma massa M na extremidade livre. Determine o período de oscilações.

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por qwe qwe qwe Seg 11 Fev 2013, 00:36

Consegui resolver o problema...

Inicialmente, temos que:
$mglsen\theta=Mgr$

Aplicando o torque no centro da polia:
$I\ddot{\theta}=-mglsen\theta-Mgr\\\\ \ddot{\theta}(Mr^2+ml^2)=-2mglsen\theta\\\\ \ddot{\theta}+\frac{2mgl}{Mr^2+ml^2}\theta =0$

(senx = x, para pequenos ângulos)

Daí, chegamos na equação característica do Movimento Harmônico Simples. Dessa forma, o período é dado por:

$T=2\pi\sqrt{\frac{Mr^2+ml^2}{2mgl}}$

por **aryleudo** Seg 11 Fev 2013, 00:58

Poderia só informar com saiu do torque e encontrou o período?

por **VictorCoe** Seg 11 Fev 2013, 01:13

O período não seria sem o theta ?

por **VictorCoe** Seg 11 Fev 2013, 01:15

E sem a gravidade ?

por qwe qwe qwe Seg 11 Fev 2013, 15:47

Obrigado, eu sempre me esqueço de não colocar o theta! Mas a gravidade permanece sim no período, eu acho. Isso porque o termo 2mgl/(Mr² + ml²) é o w². Aí o período é 2pi/w...

Vou consertar ali o resultado. Obrigado, Victor!

por qwe qwe qwe Seg 11 Fev 2013, 15:59

aryleudo escreveu:Poderia só informar com saiu do torque e encontrou o período?

Bom, aryleudo. Se você notar bem, a partir da equação que eu montei com o Torque, eu fui arrumando os termos e fazendo as aproximações (senx = x, pois o ângulo é pequeno para que haja o MHS) e cheguei na equação característica do MHS. Você está familiarizado com essa equação? Se não estiver, ela é:

$\frac{d^2x}{dt^2} +\frac{k}{m}x =0\\\\\\$

Em que: $\frac{d^2x}{dt^2}=\ddot{x}$

Daí, é só fazer a analogia com a equação que nós achamos e achamos o fator k/m. Daí, como o período é dado por 2pi sqrt(m/k), descobrimos o período.

Espero que tenha entendido...