Transformação trigonométrica

Prove que se os ângulos de um triangulo ABC verificam a relação
, então o triangulo é  retângulo

Vamos partir do pressuposto que o triângulo seja retângulo e A = 90º ----> (B + C) = 90º

Neste caso sen(4A) = sen(4*90º) = sen(360º) = 0

Basta provar, então que Y = sen(4B) + cos(4C) = 0

Y = sen(4B) + cos(4C) ----> Y = 2.sen(2B).cos(2B) + 2.sen(2C).cos(2C)

Y = 2.(2.senB.cosB).(2.cos²B - 1) + 2.(2.senC.cosC).(1 - 2.sen²C)

Y = 8.senB.cos³B - 4.senB.cosB + 4.cosC.senC - 8.cosC.sen³C

B + C = 90º ----> senC = cosB e cosC = senB

Y = 8.senB.cos³B - 4.senBcosB + 4.senB.cosB - 8.senB.cos³B

Y = 0 ----> Provado

Como a , b e c são ângulos de um triângulo : a+b + c = π -->
c = π - (a+b)
sen4a + sen4b + sen4c = 0
2sen[(4a+4b)/2].cos[(4a-4b)/2] + sen[4(π- (a+b) ] = 0
2sen[2(a+b)]cos[2(a-b)] + sen[4π - 4(a+b) ] = 0
2sen[2(a+b)]cos[2(a-b)] - sen[4(a+b)] = 0
2sen[2(a+b)]cos[2(a-b)] = sen[4(a+b)]
2sen[2(a+b)]cos[2(a-b)] = 2sen[2(a+b)]cos[2(a-b)]
se sen[2(a+b)] # 0 :
cos[2(a+b)] = cos[2(a-b)]
2(a+b) + 2(a-b) = 2kpi , k inteiro --> a = kpi/2
ou 2(a+b) - 2(a-b) = 2kpi --> b = kpi/2
como são ângulos de um triângulo k = 1, a = pi/2 ou b = pi/2
se sen[2(a+b)] = 0:
sen[2(π-c)] = 0
sen[2π - 2c] = 0
-sen(2c) = 0
sen(2c) = 0
2c = kpi
c = kpi/2 --> c = pi/2

a ou b ou c = pi/2, logo o triângulo é retângulo.

Concordo com a solução do Luck, mas não com a do Mestre Elcio. Sejam as proposições:

(a): A, B e C são ângulos de um triângulo
(b): Sen(4A) + Sen(4B) + Sen(4C) = 0
(c): O triângulo é retângulo

O que o enunciado pede que demonstremos é:

(a) ^ (b) ⇒ (c)

Mas o que o Mestre provou foi:

(a) ^ (c) ⇒ (b)

Esta última argumentação, apesar de correta, é irrelevante para o problema.

Robson Jr. escreveu:Concordo com a solução do Luck, mas não com a do Mestre Elcio. Sejam as proposições:

(a): A, B e C são ângulos de um triângulo
(b): Sen(4A) + Sen(4B) + Sen(4C) = 0
(c): O triângulo é retângulo

O que o enunciado pede que demonstremos é:

(a) ^ (b) ⇒ (c)

Mas o que o Mestre provou foi:

(a) ^ (c) ⇒ (b)

Esta última argumentação, apesar de correta, é irrelevante para o problema.

Concordo com o Robson, estaria correto se o Elcio provasse por redução ao absurdo..

Luck escreveu:Como a , b e c são ângulos de um triângulo : a+b + c = π -->
c = π - (a+b)
sen4a + sen4b + sen4c = 0
2sen[(4a+4b)/2].cos[(4a-4b)/2] + sen[4(π- (a+b) ] = 0
2sen[2(a+b)]cos[2(a-b)] + sen[4π - 4(a+b) ]  = 0
2sen[2(a+b)]cos[2(a-b)] - sen[4(a+b)] = 0
2sen[2(a+b)]cos[2(a-b)] = sen[4(a+b)]
2sen[2(a+b)]cos[2(a-b)] = 2sen[2(a+b)]cos[2(a-b)]
se sen[2(a+b)] # 0 :
cos[2(a+b)] = cos[2(a-b)]
2(a+b) + 2(a-b) = 2kpi , k inteiro  --> a = kpi/2
ou 2(a+b) - 2(a-b) = 2kpi --> b = kpi/2
como são ângulos de um triângulo k = 1, a = pi/2 ou b = pi/2
se sen[2(a+b)] = 0:
sen[2(π-c)] = 0
sen[2π - 2c] = 0
-sen(2c) = 0
sen(2c) = 0
2c = kpi
c = kpi/2 --> c = pi/2

a ou b ou c = pi/2, logo o triângulo é retângulo.

A parte em negrito. O que foi feito?

Giovana Martins escreveu:

Eu não sei se eu enxerguei corretamente a sua dúvida, mas seria apenas um erro de digitação, não?

Sendo 2(a+b)=x e 2(a-b)=y:

                        \\2sen(x)cos(y)=sen(2x)\\\\2sen(x)cos(y)=2sen(x)cos(x)\\\\2sen[2(a+b)]cos[2(a-
                         b)]=2sen[2(a+b)]cos[2(a+b)]\\\\2sen[2(a+b)]\neq 0\ \therefore \ cos[2(a+b)]=cos[2(a-b)]

Eu havia feito

\\sen\left [ 4(a+b) \right ]=sen[2(a+b)+2(a+b)]\\\\2sen[2(a+b)]\cdot cos[2(a+b)]

A dúvida era justamente  em cos[2(a+b)]=cos[2(a-b)]


Agora uma outra dúvida. Como você faz para deixar o latex tão bem espaçado?

Só uma dúvida. Eu respondi a sua primeira dúvida ?

Quanto a outra dúvida: quando eu digito o código, eu coloco uma "\" e dou um espaço. Por exemplo, quando eu quero colocar uma seta e um símbolo de portanto eu faço o seguinte:

\to\ \therefore. Se você colocar \to \therefore sem a barra ele fica todo "colado".

Aqui o texto em LaTeX:

\\2sen(x)cos(y)=sen(2x)\\\\2sen(x)cos(y)=2sen(x)cos(x)\\\\2sen[2(a+b)]cos[2(a-b)]=2sen[2(a+b)]cos[2(a+b)]\\\\2sen[2(a+b)]\neq 0\ \therefore \ cos[2(a+b)]=cos[2(a-b)]

Coloca ele no LaTeX pra ficar mais fácil de enxergar. As duas barras iniciais é para eliminar o que acho que seja um bug de quebra de texto.