Equação logarítmica

por mahriana Ter 22 Jan 2013, 06:34

Resolva a equação sabendo que a e b são reais positivos e diferentes de 1:

$\fn_phv \mathbf{\frac{log_2x}{log_{2}^{2}a}-\frac{2log_ax}{log_\frac{1}{b}a}=log_{\sqrt[3]{a}}x.log_ax}$

Spoiler:

por Glauber Damasceno Qua 23 Jan 2013, 12:37

Precisando também , alguém ?

Desde já grato.

por mahriana Qua 23 Jan 2013, 13:26

Vou postar uma solução mas gostaria também de ver outras

Colocamos todos os logaritmos em base 2 :
$\mathbf{\frac{log_2x}{log^2_2a}+2\frac{log_2(xb)}{log^2_2a} = \frac{3log_2x^2}{log_2a^2}}$
Fazemos

$\mathbf{log_2x= p }$

Logo:
$\mathbf{p + 2p.log_2b -3p^2=0\Rightarrow p(1+2log_2b-3p)=0}$

Se p =0 podemos ver que x=1

Se p não é igual a zero temos:

$\mathbf{(1+2log_2b-3p)=0\Rightarrow log_2x=\frac{1+log_2b^2}{3}}$

Ficamos com:

$\mathbf{log_2x^3=log_2(b^2.2)}\boldsymbol{\Rightarrow x^3=2b^2\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{2b^2}}$