Gradiente

Relembrando a primeira mensagem :

Um financiamento de $548,66 será pago em oito parcelas mensais. A primeira, de $20. vence 1 mês depois de tomado o financiamento e as outras são gradativamente crescentes, formando uma P.A. Calcular a taxa efetiva de juros do financiamento.

R.:5%

Obrigado.

jota-r escreveu:
q*(q^7 - 27,433) = 26,433---->salvo erro de conta, esta é a equação final.

Neste ponto, como a última equação não tem solução algébrica, você apelaria provavelmente para o Wolfran para encontrar o valor de q = G.

Sds.

Ou o método de Newton.

Bom ano novo.

Luiz 2017 escreveu:

jota-r escreveu:
q*(q^7 - 27,433) = 26,433---->salvo erro de conta, esta é a equação final.

Neste ponto, como a última equação não tem solução algébrica, você apelaria provavelmente para o Wolfran para encontrar o valor de q = G.

Sds.

Ou o método de Newton.

Bom ano novo.

Ótimo anos novo para você também e sua família, amigo.

Boa tarde!

Não discordo que a questão está mal elaborada. Mas o meu ponto de vista é que no livro do Samanez já se sabia qual era o assunto abordado, diferentemente de 'lançar' a questão em uma prova ou aqui no fórum para resolução. Daí eu reitero que faltaria realmente o dado do fator de crescimento (razão da P.A.). Mas no livro é justamente o assunto abordado, por isso fica 'praticamente claro' que o valor da razão é justamente igual ao primeiro pagamento.
Inclusive deixo aqui outra fórmula, mais direta para esse caso:
\\PV=PMT\cdot\left\{\dfrac{\overbrace{\left[\dfrac{1-(1+i)^{-(n-1)}}{i}+1\right]}^{\text{Fator de atualizacao de capital, serie antecipada}}-\dfrac{n}{(1+i)^n}}{i}\right\}

Neste caso o PMT é igual ao primeiro pagamento e também igual à razão.

Boas festas de fim de ano! Feliz 2018! Muita paz e saúde!

baltuilhe escreveu:
Mas no livro é justamente o assunto abordado, por isso fica 'praticamente claro' que o valor da razão é justamente igual ao primeiro pagamento.

Mas o primeiro pagamento não é igual a razão de crescimento. O exercício deu primeiro pagamento igual $ 20,00 e o jota-r calculou a razão igual a $ 13,880714. Ou não?

Luiz 2017 escreveu:

baltuilhe escreveu:
Mas no livro é justamente o assunto abordado, por isso fica 'praticamente claro' que o valor da razão é justamente igual ao primeiro pagamento.

Mas o primeiro pagamento não é igual a razão de crescimento. O exercício deu primeiro pagamento igual $ 20,00 e o jota-r calculou a razão igual a $ 13,880714. Ou não?

Olá, Luiz e Baltuilhe.
 
Estive analisando os exercícios sobre PA crescente do livro de Samanez.
 
O baltuilhe está certo ao afirmar que a razão de crescimento da série e sua primeira parcela são iguais ($20).
 
Pelos exercícios que verifiquei, o Samanez só especifica o valor de G quando ele é diferente da primeira prestação.
Quando ele omite esse dado, no livro fica subentendido que seu valor é o mesmo da primeira parcela da série. Premissa
correta ou errada? Eu a considero errada, até porque o matemático José Dutra Vieira Sobre, em seu livro de matemática financeira do qual tenho um exemplar bem antigo, diz textualmente:
 
"Nos dois problemas vistos, fizemos coincidir o valor da primeira parcela com o valor da razão da Progressão Aritmética. Entretanto, na prática, isso dificilmente ocorre. O mais comum é o aparecimento de problema do seguinte tipo:
 
Qual o montante de 9 aplicações mensais, feitas à taxa de 2,5% ao mês, realizadas no final de cada período, sabendo-se que a  primeira é de $ 8.000,00 e as demais de valores crescentes, à razão de $ 1.000,00?"
 
Referido autor (Vieira Sobrinho) diz ainda: "A fórmula utilizada para a solução de problema de séries em gradiente difere
da fórmula apresentada pelos diversos autores que conhecemos; esses autores desenvolveram a fórmula considerando a série uniforme como composta por termos iguais ao valor da 1ª prestação, enquanto que nós consideramos o valor de cada termo como o da 1ª prestação menos a razão da série.
 
Esta última afirmação do mestre Vieira Sobrinho reforça a tese de que o Samanez está no grupo desses outros "diversos autores".
Aliás, seu livro de matemática financeira , que é espetacular nos demais fundamentos da matéria,  é bem fraquinho no tópico "Séries de termos variáveis".
 
Com estes comentários, espero ter encerrado a polêmica que travamos sobre a matéria, que já estava virando uma verdadeira babel.
 
Mas cabe a pergunta: qual o verdadeiro significado do suposto valor de G que calculei? Para ser sincero,  a única coisa que posso afirmar é que, certamente, ele não é a razão da série, se considerarmos que a taxa de juros de 5% está correta. Seria interessante, para satisfazer a curiosidade, que um de vocês calculasse o valor da taxa considerando esses valor de G que encontrei.
 
Um abraço.

baltuilhe escreveu:Boa tarde!

Não discordo que a questão está mal elaborada. Mas o meu ponto de vista é que no livro do Samanez já se sabia qual era o assunto abordado, diferentemente de 'lançar' a questão em uma prova ou aqui no fórum para resolução. Daí eu reitero que faltaria realmente o dado do fator de crescimento (razão da P.A.). Mas no livro é justamente o assunto abordado, por isso fica 'praticamente claro' que o valor da razão é justamente igual ao primeiro pagamento.
Inclusive deixo aqui outra fórmula, mais direta para esse caso:

\\PV=PMT\cdot\left\{\dfrac{\overbrace{\left[\dfrac{1-(1+i)^{-(n-1)}}{i}+1\right]}^{\text{Fator de atualizacao de capital, serie antecipada}}-\dfrac{n}{(1+i)^n}}{i}\right\}

Neste caso o PMT é igual ao primeiro pagamento e também igual à razão.

Boas festas de fim de ano! Feliz 2018! Muita paz e saúde!

Quando  primeiro termo é igual à razão, por simplificação a variável G desaparece da fórmula e, por conseguinte, torna-se desnecessária no cálculo.

Sds.

Luiz 2017 escreveu:

baltuilhe escreveu:Boa tarde!

Não discordo que a questão está mal elaborada. Mas o meu ponto de vista é que no livro do Samanez já se sabia qual era o assunto abordado, diferentemente de 'lançar' a questão em uma prova ou aqui no fórum para resolução. Daí eu reitero que faltaria realmente o dado do fator de crescimento (razão da P.A.). Mas no livro é justamente o assunto abordado, por isso fica 'praticamente claro' que o valor da razão é justamente igual ao primeiro pagamento.
Inclusive deixo aqui outra fórmula, mais direta para esse caso:

\\PV=PMT\cdot\left\{\dfrac{\overbrace{\left[\dfrac{1-(1+i)^{-(n-1)}}{i}+1\right]}^{\text{Fator de atualizacao de capital, serie antecipada}}-\dfrac{n}{(1+i)^n}}{i}\right\}

Neste caso o PMT é igual ao primeiro pagamento e também igual à razão.

Boas festas de fim de ano! Feliz 2018! Muita paz e saúde!

Quando  primeiro termo é igual à razão, por simplificação a variável G desaparece da fórmula e, por conseguinte, torna-se desnecessária no cálculo.

Sds.

Não entendi  esta sua afirmação. Mostre com exemplo!!!

jota-r escreveu:

Luiz 2017 escreveu:
Quando  primeiro termo é igual à razão, por simplificação a variável G desaparece da fórmula e, por conseguinte, torna-se desnecessária no cálculo.

Sds.

Não entendi  esta sua afirmação. Mostre com exemplo!!!

É simples demais.

Veja, por exemplo, a equação geral de juros para o valor futuro de série antecipada em progressão aritmética crescente:

FV = \left[ p \cdot \left[ \frac{(1+i)^n -1}{i}\right] + \frac{g}{i} \cdot \left[ \frac{(1+i)^n - 1}{i} - n \right] \right](1+i)

Onde:

FV = Valor futuro
p = primeira parcela
i = taxa de juros
n = número de parcelas
g = razão de crescimento da PA.

Se a primeira parcela é igual à razão, isto é, se p = g, então:

FV = \left[ p \cdot \left[ \frac{(1+i)^n -1}{i}\right] + \frac{p}{i} \cdot \left[ \frac{(1+i)^n - 1}{i} - n \right] \right](1+i)

Notou? A variável "g" desaparece da fórmula. O cálculo de "FV", "p", "i" ou "n" não depende, neste caso, de "g". Esta grandeza torna-se desnecessária.

Sds.

jota-r:

Os tópicos "Calcular o número de depósitos" e "Série gradiente em PG crescente" postei para você resolver!

Abraços

jota-r escreveu:

Luiz 2017 escreveu:

baltuilhe escreveu:
Mas no livro é justamente o assunto abordado, por isso fica 'praticamente claro' que o valor da razão é justamente igual ao primeiro pagamento.

Mas o primeiro pagamento não é igual a razão de crescimento. O exercício deu primeiro pagamento igual $ 20,00 e o jota-r calculou a razão igual a $ 13,880714. Ou não?

Olá, Luiz e Baltuilhe.
 
Estive analisando os exercícios sobre PA crescente do livro de Samanez.
 
O baltuilhe está certo ao afirmar que a razão de crescimento da série e sua primeira parcela são iguais ($20).
 
Pelos exercícios que verifiquei, o Samanez só especifica o valor de G quando ele é diferente da primeira prestação.
Quando ele omite esse dado, no livro fica subentendido que seu valor é o mesmo da primeira parcela da série. Premissa
correta ou errada? Eu a considero errada, até porque o matemático José Dutra Vieira Sobre, em seu livro de matemática financeira do qual tenho um exemplar bem antigo, diz textualmente:
 
"Nos dois problemas vistos, fizemos coincidir o valor da primeira parcela com o valor da razão da Progressão Aritmética. Entretanto, na prática, isso dificilmente ocorre. O mais comum é o aparecimento de problema do seguinte tipo:
 
Qual o montante de 9 aplicações mensais, feitas à taxa de 2,5% ao mês, realizadas no final de cada período, sabendo-se que a  primeira é de $ 8.000,00 e as demais de valores crescentes, à razão de $ 1.000,00?"
 
Referido autor (Vieira Sobrinho) diz ainda: "A fórmula utilizada para a solução de problema de séries em gradiente difere
da fórmula apresentada pelos diversos autores que conhecemos; esses autores desenvolveram a fórmula considerando a série uniforme como composta por termos iguais ao valor da 1ª prestação, enquanto que nós consideramos o valor de cada termo como o da 1ª prestação menos a razão da série.
 
Esta última afirmação do mestre Vieira Sobrinho reforça a tese de que o Samanez está no grupo desses outros "diversos autores".
Aliás, seu livro de matemática financeira , que é espetacular nos demais fundamentos da matéria,  é bem fraquinho no tópico "Séries de termos variáveis".
 
Com estes comentários, espero ter encerrado a polêmica que travamos sobre a matéria, que já estava virando uma verdadeira babel.
 
Mas cabe a pergunta: qual o verdadeiro significado do suposto valor de G que calculei? Para ser sincero,  a única coisa que posso afirmar é que, certamente, ele não é a razão da série, se considerarmos que a taxa de juros de 5% está correta. Seria interessante, para satisfazer a curiosidade, que um de vocês calculasse o valor da taxa considerando esses valor de G que encontrei.
 
Um abraço.

Olá, Jota-r!

Com certeza usando o fator que encontrou teremos uma taxa de financiamento igual a zero! Sem fazer contas, com 100% de certeza absoluta!

O fato é que ao ter usado a teoria das progressões aritméticas e obtido a razão da progressão, simplesmente obteve a sequência numérica cuja soma perfaz os $ 548,66 iniciais.
Veja:
\\a_1=20\\n=8\\a_8=?\\S_8=\dfrac{\left(a_1+a_8\right)\cdot 8}{2}\\548,66=\dfrac{\left(20+a_8\right)\cdot 8}{2}\\548,66=\left(20+a_8\right)\cdot 4\\548,66=80+4a_8\\4a_8=548,66-80=468,66\\a_8=\dfrac{468,66}{4}\\\boxed{a_8=117,165}

Tendo obtido o valor a_8 podemos obter agora a razão desta progressão, certo?
\\a_8=a_1+(8-1)r\\117,165=20+7r\\7r=117,165-20=97,165\\r=\dfrac{97,165}{7}\\\boxed{r\approx 13,8807}

Então, teremos a seguinte sequência:
20; 33,88; 47,76; 61,64; 75,52; 89,40; 103,28; 117,17

Se colocarmos todos estes termos para verificar qual a taxa:
\\548,66=\dfrac{20}{1+i}+\dfrac{33,88}{(1+i)^2}+\dfrac{47,76}{(1+i)^3}+\dfrac{61,64}{(1+i)^4}+\dfrac{75,52}{(1+i)^5}+\dfrac{89,40}{(1+i)^6}+\dfrac{103,28}{(1+i)^7}+\dfrac{117,17}{(1+i)^8}

Pode-se facilmente verificar que a taxa i=0% dará a resposta correta, já que a soma dos valores da P.A. já dá o valor atual.

Espero ter ajudado! (e não ter sido tão repetitivo)