Gradiente

Um financiamento de $548,66 será pago em oito parcelas mensais. A primeira, de $20. vence 1 mês depois de tomado o financiamento e as outras são gradativamente crescentes, formando uma P.A. Calcular a taxa efetiva de juros do financiamento.

R.:5%

Obrigado.

jrfreitas escreveu:Um financiamento de $548,66 será pago em oito parcelas mensais. A primeira, de $20. vence 1 mês depois de tomado o financiamento e as outras são gradativamente crescentes, formando uma P.A. Calcular a taxa efetiva de juros do financiamento.

R.:5%

Obrigado.

Problema incompleto: falta a razão de crescimento.

Luiz 2017 escreveu:

jrfreitas escreveu:Um financiamento de $548,66 será pago em oito parcelas mensais. A primeira, de $20. vence 1 mês depois de tomado o financiamento e as outras são gradativamente crescentes, formando uma P.A. Calcular a taxa efetiva de juros do financiamento.

R.:5%

Obrigado.

Problema incompleto: falta a razão de crescimento.

Olá, Luiz.

Há pouco conversamos sobre o inconveniente que é a omissão do ano nas postagens que efetuamos no fórum. Este exercício vem comprovar esse inconveniente. É que ele foi postado por mim há bastante tempo (não sei em que ano, pela ausência desse dado nas postagens), na época em que  meu login ainda era jrfreitas.

Quanto ao exercício em si, tenho a comentar:

Se a razão de crescimento constasse do enunciado, a solução seria trivial para você, que utiliza aplicativos para encontrar a resposta.

Pois é. O charme do problema reside justamente na omissão desse dado no enunciado, pois, a quem se propuser a resolvê-lo, terá que, previamente, calcular tal parâmetro. Para tanto, utilize a teoria das progressões aritméticas, como segue:  
 
SPA = n*(a1+an)/2
---->
548,66 = 8*(20+a8)/2
---->
548,66/8*2 = (20+a8)
---->
137,1650 = (20+a8)
---->
a8 = 137,1650 - 20
---->
a8 = 117,165


Como an = a1 + (n-1)*r, vem que:

117,165 = 20 + (8 - 1)*r
---->
117,165 - 20  = 7*r
---->
97,1650  = 7*r
---->
r = 97,1650/7
---->
r =  13,880714--->G = razão de crescimento.

Pronto, agora dê seguimento a solução do exercício e boa sorte.

Sds.

Eu me redimo.

Luiz 2017 escreveu:Eu me redimo.

Um abraço.

jota-r escreveu:
Olá, Luiz.

Há pouco conversamos sobre o inconveniente que é a omissão do ano nas postagens que efetuamos no fórum. Este exercício vem comprovar esse inconveniente. É que ele foi postado por mim há bastante tempo (não sei em que ano, pela ausência desse dado nas postagens), na época em que  meu login ainda era jrfreitas.

Vejo que você tinha dois logins, um de 2009 e outro de 2012...

Boa noite!

Tava dando uma 'analisada' no problema e se a solução empregada for a de P.A., direta, esse fluxo de caixa tem taxa zero.
Basta analisar que a soma das parcelas irá perfazer os 548,66 iniciais. Sem precisar 'atualizar' dividindo por (1+i)^n cada termo.

Bom, daí fui 'atrás' da fonte do problema e o achei no livro do Carlos Patrício Samanez, página 191, exercício 6, no capítulo 6, sobre rendas variáveis.
Pela forma como o livro foi estruturado a questão já leva em consideração que a primeira prestação é $20 e as seguintes são uma P.A.... de razão $20

Então, se formos resolver (pelo livro) iremos utilizar a fórmula para o cálculo de valor atual de Gradiente Uniforme:
PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]+\dfrac{G}{i}\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}-\dfrac{n}{\left(1+i\right)^n}\right]

Substituindo os valores e usando qualquer técnica para resolução (Newton-Raphson, Bissecção, ou outro qualquer) podemos constatar a taxa de 5%.
PMT = 20
G = 20
i = 5%
n = 8

Cálculo:
\\PV=20\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+5\%\right)^{-8}}{5\%}\right]+\dfrac{20}{5\%}\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+5\%\right)^{-8}}{5\%}-\dfrac{8}{\left(1+i\right)^n}\right]\\PV\approx 548,66

Coisa de doido!

Abraços! Feliz 2018!

baltuilhe escreveu:Bom, daí fui 'atrás' da fonte do problema e o achei no livro do Carlos Patrício Samanez, página 191, exercício 6, no capítulo 6, sobre rendas variáveis.
Pela forma como o livro foi estruturado a questão já leva em consideração que a primeira prestação é $20 e as seguintes são uma P.A.... de razão $20

Mas aí, você parte da premissa de que a razão G é igual a $ 20,00, quando na realidade, em princípio, G é desconhecido. O jota-r já mostrou como encontrar tal valor utilizando as propriedades das séries em PA. Ele mostrou que realmente G=$ 20,00, mas, depois do cálculo, não à priori.

Sua fórmula:

PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]+\dfrac{G}{i}\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}-\dfrac{n}{\left(1+i\right)^n}\right]

está correta e tem 5 variáveis: "PV", "PMT", "i", "n" e "G".

Então, para calcular qualquer uma delas as 4 demais terão que ser conhecidas antecipadamente. Por conseguinte, só se calcula "i" com a grandeza "G" conhecida. Só que, malandramente, o exercício nº 6 do Samanez omite tal dado, que o jota-r, afinal, acabou encontrando.

Aproveito a deixa e trago outro exercício do Samanez, mais fácil, o de nº 18, que está aqui:

https://pir2.forumeiros.com/t143284-qual-a-razao-de-crescimento-das-parcelas#503525

jota-r escreveu:
Se a razão de crescimento constasse do enunciado, a solução seria trivial para você, que utiliza aplicativos para encontrar a resposta.

Pois é. O charme do problema reside justamente na omissão desse dado no enunciado, pois, a quem se propuser a resolvê-lo, terá que, previamente, calcular tal parâmetro. Para tanto, utilize a teoria das progressões aritméticas, como segue:  
 
SPA = n*(a1+an)/2
---->
548,66 = 8*(20+a8)/2
---->
548,66/8*2 = (20+a8)
---->
137,1650 = (20+a8)
---->
a8 = 137,1650 - 20
---->
a8 = 117,165

Como an = a1 + (n-1)*r, vem que:

117,165 = 20 + (8 - 1)*r
---->
117,165 - 20  = 7*r
---->
97,1650  = 7*r
---->
r = 97,1650/7
---->
r =  13,880714--->G = razão de crescimento.

Pronto, agora dê seguimento a solução do exercício e boa sorte.

Sds.

jota-r, apenas de curiosidade: se no exercício proposto, ao invés de constar "formando uma P.A.", constasse "formando uma P.G.", como você encontraria a razão G?

Luiz 2017 escreveu:

jota-r escreveu:
Se a razão de crescimento constasse do enunciado, a solução seria trivial para você, que utiliza aplicativos para encontrar a resposta.

Pois é. O charme do problema reside justamente na omissão desse dado no enunciado, pois, a quem se propuser a resolvê-lo, terá que, previamente, calcular tal parâmetro. Para tanto, utilize a teoria das progressões aritméticas, como segue:  
 
SPA = n*(a1+an)/2
---->
548,66 = 8*(20+a8)/2
---->
548,66/8*2 = (20+a8)
---->
137,1650 = (20+a8)
---->
a8 = 137,1650 - 20
---->
a8 = 117,165

Como an = a1 + (n-1)*r, vem que:

117,165 = 20 + (8 - 1)*r
---->
117,165 - 20  = 7*r
---->
97,1650  = 7*r
---->
r = 97,1650/7
---->
r =  13,880714--->G = razão de crescimento.

Pronto, agora dê seguimento a solução do exercício e boa sorte.

Sds.

jota-r, apenas de curiosidade: se no exercício proposto, ao invés de constar "formando uma P.A.", constasse "formando uma P.G.", como você encontraria a razão G?

Nesta hipótese, pela lógica a razão de crescimento da PG não seria omitida no enunciado. Mas, supondo que o exercício
tivesse sido formulado por algum maluco (o que não é o caso de Samanez) e tal dado não constasse do enunciado, provavelmente eu diria como você disse: "Problema incompleto: falta a razão de crescimento".


Já se fosse você que tencionasse revolver esse tipo de exercício agora, tenho quase certeza de que, aproveitando a dica
que dei no caso da PA, aplicaria a fórmula da soma dos termos de uma PG para encontrar o valor de q = G, como segue:

Spg = a1(q n-1)/(q-1)
---->
548,66 = 20*(q^8-1)/(q-1)
---->
548,66/20 = (q^8-1)/(q-1)
---->
27,433 = (q^8-1)/(q-1)
---->
27,433*(q-1) = (q^8-1)
---->
27,433q-27,433 = q^8-1
---->
27,433q-27,433+1 = q^8
---->
27,433q-26,433 = q^8
---->
q^8 - 27,433q = 26,433
---->
q*(q^7 - 27,433) = 26,433---->salvo erro de conta, esta é a equação final.

Neste ponto, como a última equação não tem solução algébrica, você apelaria provavelmente para o Wolfran para encontrar o
valor de q = G.

Sds.