Gradiente 4

Olá.

Uma loja está financiando certo tipo de móveis para serem pagos em 8 prestações mensais, sem entrada. Sabendo-se que:

a) a taxa cobrada é de 4% a.m.
b) a 1ª prestação, no valor de $ 4.000,00, vencerá 5 meses após a data do contrato; e
c) os valores das prestações decrescem de acordo com uma PA de razão $ 250,00.
Calcular o valor dos móveis à vista.

R.: $ 18.280,61


Um abraço.

jota-r escreveu:Olá.

Uma loja está financiando certo tipo de móveis para serem pagos em 8 prestações mensais, sem entrada. Sabendo-se que:

a) a taxa cobrada é de 4% a.m.
b) a 1ª prestação, no valor de $ 4.000,00, vencerá 5 meses após a data do contrato; e
c) os valores das prestações decrescem de acordo com uma PA de razão $ 250,00.
Calcular o valor dos móveis à vista.

R.: $ 18.280,61

Um abraço.

Solução:

1- Em primeiro lugar é preciso transportar o valor financiado para o fim do período de carência:

FV_1 = PV \cdot (1+i)^{k-1}

onde:

PV = valor financiado no início da carência = valor dos móveis à vista ($)
FV₁ = valor financiado no fim da carência ($)
i = 0,04 a.m. (taxa mensal)
k = 5 meses (período de carência)

Substituindo valores:

FV_1 = PV \cdot (1+0,04)^{5-1}

FV_1 = PV \cdot (1+0,04)^4

FV_1 = 1,16985856 \cdot PV

2- Em segundo lugar calcula-se o valor presente (PV₂) para série de pagamentos postecipados em progressão aritmética decrescente, cuja fórmula é:

PV_2 = \frac{ p \cdot \left[ \frac{(1+i)^n -1}{i}\right] - \frac{g}{i} \cdot \left[ \frac{(1+i)^n - 1}{i} - n \right]}{(1+i)^n}

onde:

PV₂ = FV₁ = 1,16985856·PV
n = 8 meses (número de meses = número de parcelas)
i = 4% a.m. = 0,04 a.m. (taxa mensal)
p = $ 4.000,00 (1ª parcela)
g = $ 250,00 (variação mensal decrescente) (razão é para PG e o presente caso é PA)

Substituindo valores na última equação:

1,16985856 \cdot PV = \frac{ 4000 \cdot \left[ \frac{(1+0,04)^8 -1}{0,04}\right] - \frac{250}{0,04} \cdot \left[ \frac{(1+0,04)^8 - 1}{0,04} - 8 \right]}{(1+0,04)^8}

1,16985856 \cdot PV = \frac{ 36856,90504 - 7588,914127} {1,36856905}

1,16985856 \cdot PV = 21385,83429

\bf{ PV = \$ \; 18.280,61 }

Luiz 2017 escreveu:

jota-r escreveu:Olá.

Uma loja está financiando certo tipo de móveis para serem pagos em 8 prestações mensais, sem entrada. Sabendo-se que:

a) a taxa cobrada é de 4% a.m.
b) a 1ª prestação, no valor de $ 4.000,00, vencerá 5 meses após a data do contrato; e
c) os valores das prestações decrescem de acordo com uma PA de razão $ 250,00.
Calcular o valor dos móveis à vista.

R.: $ 18.280,61

Um abraço.

Solução:

1- Em primeiro lugar é preciso transportar o valor financiado para o fim do período de carência:

FV_1 = PV \cdot (1+i)^{k-1}

onde:

PV = valor financiado no início da carência = valor dos móveis à vista ($)
FV₁ = valor financiado no fim da carência ($)
i = 0,04 a.m. (taxa mensal)
k = 5 meses (período de carência)

Substituindo valores:

FV_1 = PV \cdot (1+0,04)^{5-1}

FV_1 = PV \cdot (1+0,04)^4

FV_1 = 1,16985856 \cdot PV

2- Em segundo lugar calcula-se o valor presente (PV₂) para série de pagamentos postecipados em progressão aritmética decrescente, cuja fórmula é:

PV_2 = \frac{ p \cdot \left[ \frac{(1+i)^n -1}{i}\right] - \frac{g}{i} \cdot \left[ \frac{(1+i)^n - 1}{i} - n \right]}{(1+i)^n}

onde:

PV₂ = FV₁ = 1,16985856·PV
n = 8 meses (número de meses = número de parcelas)
i = 4% a.m. = 0,04 a.m. (taxa mensal)
p = $ 4.000,00 (1ª parcela)
g = $ 250,00 (variação mensal decrescente) (razão é para PG e o presente caso é PA)

Substituindo valores na última equação:

1,16985856 \cdot PV = \frac{ 4000 \cdot \left[ \frac{(1+0,04)^8 -1}{0,04}\right] - \frac{250}{0,04} \cdot \left[ \frac{(1+0,04)^8 - 1}{0,04} - 8 \right]}{(1+0,04)^8}

1,16985856 \cdot PV = \frac{ 36856,90504 - 7588,914127} {1,36856905}

1,16985856 \cdot PV = 21385,83429

\bf{ PV = \$ \; 18.280,61 }

Olá.

Outra maneira de resolver é desmembrando a série dada em 2 outras, sendo uma de termos uniformes e
outra de termos em gradientes, resolvendo ambas e somando-as, conforme segue:

Inicialmente, determinamos o valor dos termos da série uniforme, assim:

1ª prestação = R+n*G---->4000 = R + 8*250---->R = 4000 - 8*250---->R = 2000

Com isto, temos os seguintes dados:

Série uniforme: R = 2000; n = 8 meses; k = 4 meses; i = 4% a.m.; P1 = ?

Série em gradiente: G = 250; n = 8 meses; k = 4 meses; i = 4% a.m.; P2 = ?

Solução:

P1 = R*(1+i)^(-k)*[1 - (1+i)^(-n)]/i
---->
P1 = 2000*1,04^(-4)*[1 - 1,04^(-]/0,04
---->
P1 = 2000*1,04^(-4)*[1 - 1,04^(-]/0,04
---->
P1 = 1709,60838206*0,26930979/0,04
---->
P1 = 11510,35685887


P2 = G/i*(1+i)^(-k)*{n - [(1+i)^n-1]/[(1+i)^n*i]}
---->
P2 = 250/0,04*1,04^(-4)*{8 - [1,04^8-1]/[1,04^8*0,04]}
---->
P2 = 5342,52619394*{8 - [0,36856905]/[0,05474276]}
---->
P2 = 5342,52619394*{8 - 6,73274512}
---->
P2 = 5342,52619*1,26725488
---->
P2 = 6770,34238581

PV = P1+P2
---->
PV = 11510,35685887 + 6770,34238581
---->
PV = 18.280,70

Um abraço.

jota-r escreveu:Olá.

Outra maneira de resolver é desmembrando a série dada em 2 outras, sendo uma de termos uniformes e
outra de termos em gradientes, resolvendo ambas e somando-as, conforme segue:

Inicialmente, determinamos o valor dos termos da série uniforme, assim:

1ª prestação = R+n*G---->4000 = R + 8*250---->R = 4000 - 8*250---->R = 2000

Com isto, temos os seguintes dados:

Série uniforme: R = 2000; n = 8 meses; k = 4 meses; i = 4% a.m.; P1 = ?

Série em gradiente: G = 250; n = 8 meses; k = 4 meses; i = 4% a.m.; P2 = ?

Solução:

P1 = R*(1+i)^(-k)*[1 - (1+i)^(-n)]/i
---->
P1 = 2000*1,04^(-4)*[1 - 1,04^(-]/0,04
---->
P1 = 2000*1,04^(-4)*[1 - 1,04^(-]/0,04
---->
P1 = 1709,60838206*0,26930979/0,04
---->
P1 = 11510,35685887


P2 = G/i*(1+i)^(-k)*{n - [(1+i)^n-1]/[(1+i)^n*i]}
---->
P2 = 250/0,04*1,04^(-4)*{8 - [1,04^8-1]/[1,04^8*0,04]}
---->
P2 = 5342,52619394*{8 - [0,36856905]/[0,05474276]}
---->
P2 = 5342,52619394*{8 - 6,73274512}
---->
P2 = 5342,52619*1,26725488
---->
P2 = 6770,34238581

PV = P1+P2
---->
PV = 11510,35685887 + 6770,34238581
---->
PV = 18.280,70

Um abraço.

Legal. Embora jamais saibamos qual é a definição de "G", "R", "P" e "k". A não ser que faça um esforço desgraçado para descobrir.

Luiz 2017 escreveu:

jota-r escreveu:Olá.

Outra maneira de resolver é desmembrando a série dada em 2 outras, sendo uma de termos uniformes e
outra de termos em gradientes, resolvendo ambas e somando-as, conforme segue:

Inicialmente, determinamos o valor dos termos da série uniforme, assim:

1ª prestação = R+n*G---->4000 = R + 8*250---->R = 4000 - 8*250---->R = 2000

Com isto, temos os seguintes dados:

Série uniforme: R = 2000; n = 8 meses; k = 4 meses; i = 4% a.m.; P1 = ?

Série em gradiente: G = 250; n = 8 meses; k = 4 meses; i = 4% a.m.; P2 = ?

Solução:

P1 = R*(1+i)^(-k)*[1 - (1+i)^(-n)]/i
---->
P1 = 2000*1,04^(-4)*[1 - 1,04^(-]/0,04
---->
P1 = 2000*1,04^(-4)*[1 - 1,04^(-]/0,04
---->
P1 = 1709,60838206*0,26930979/0,04
---->
P1 = 11510,35685887


P2 = G/i*(1+i)^(-k)*{n - [(1+i)^n-1]/[(1+i)^n*i]}
---->
P2 = 250/0,04*1,04^(-4)*{8 - [1,04^8-1]/[1,04^8*0,04]}
---->
P2 = 5342,52619394*{8 - [0,36856905]/[0,05474276]}
---->
P2 = 5342,52619394*{8 - 6,73274512}
---->
P2 = 5342,52619*1,26725488
---->
P2 = 6770,34238581

PV = P1+P2
---->
PV = 11510,35685887 + 6770,34238581
---->
PV = 18.280,70

Um abraço.

Legal. Embora jamais saibamos qual é a definição de "G", "R", "P" e "k". A não ser que faça um esforço desgraçado para descobrir.

Olá.

Quando resolvo exercícios postados por outros usuários, procuro ser o mais detalhista possível, para não
deixar dúvidas ao consulente. Neste caso, contudo, fui eu mesmo que postei o execício e não preciso dar
muitos detalhes.

Para saber o significado de "G", "R", "P" e "k" não é necessário fazer um "esforço desgraçado". Basta dar
uma passada de olhos nos dados que relacionei. Nem isto o amigo quer fazer?

Um abraço.