Tx de variação

Sabemos que a tx de variação da função ax+b é o coeficente a, ou que a razão da PA an+b é o coeficente a. Sabemos também que uma PA de 2ª ordem é aquela cuja a razão não é constante e sim uma PA de 1ª ordem, ou seja: an²+bn+c, transformando essa equação para uma função: ax²+bx+c e fatorando: (ax+b)x+c e depois chamando ax+b=A, então fica Ax+c. Daí a pergunta: "qual é a tx de variação dessa função?" Ora, é A. A resposta faz sentido porque a tx de variação duma "função de 2ª ordem" é uma "função de 1ª ordem", no caso, é A=ax+b.

Mas... seja a função f definida por f(x)=8x²+4x+2, fatorando-a, tem-se: f(x)=(8x+4)x+2, daí a pergunta: "qual é a sua tx de variação" eu poderia responder ingenuinamente que é 8x+4, mas não é, basta derivar [8x²+4x+2]' que o resultado é 16x+4.

Então o que há de errado com o meu raciocínio lógico?

Obg!

Então o que há de errado com o meu raciocínio lógico?

O fato de não ser lógico.

Se a representa a derivada da primeira função, ax+b não representa o mesmo para a segunda. Logo não são coisas da mesma natureza.

Sim, é isso que eu não entendo!

Quando eu vejo uma equação do 2º grau ax²+bx+c, remete-me instantaneamente uma PA de 2ª ordem (an²+bn+c), ou seja, aquela cuja a razão forma uma PA, no caso: (an+b)n+c

Então a forma fatorada duma equação do 2º grau, (ax+b)x+c, tem algum significado ou é uma mera ilusão?