geometria - cálculo de área de círculo

Calcular a área do círculo O', cuja circunferência é tangente à circunferência O de raio 5m e aos catetos AB e AC do triângulo retângulo isósceles ABC.


Resp. 53,90m²
ref. Edgar de A. Filho exercícios de geometria plana

Consegui !
Vou postar a resolução na figura.

Conseguui por semelhança de triângulo
vou postar se for diferente

d²= (5V2/2)*(5V2/2) =3,53
D+d+x=10
5+3,53+x=10 --> x=1,47
Raio=10-1,47/2=4,26
S=piR²=3,14*(4,26)²= 56,9m²

Boa sacada esse segmento d, Raimundo.
O que mais me admira é que, fazendo um "golpe de vista mental", à primeira vista não parece que a circunferência menor tangencia os catetos exatamente no seus pontos médios.

,

Vlw Medeiros muito bem observado.

Por esse bem aproximado desenho , acho que você está correto , nota-se que o ponto de tangencia não é o ponto médio , por isso minha resolução deu aprox. 3cm de diferença do gabarito.
Com isso o problema fica em aberto , aguardando uma resolução. grt

ADENDO: por favor ignorem esta mensagem porque está totalmente ERRADA visto que considerei os arcos em relação a um ponto que NÃO é o centro da circunferência.


Raimundo,
Pelo seu segundo desenho, vejo que entendeste bem a minha admiração pois foi assim mesmo que visualisei.
Mas não fiz as contas da sua resolução, apenas acompanhei o raciocínio, que me parece correto e a tangência ocorre sim no ponto médio, veja:

Relativo a circunferência em questão, sejam:
W = intersecção da circunf. menor com o eixo CD à esquerda
V = intersecção da circunf. menor com o eixo CD à direita
t = ângulo B^DC
w = ângulo G^AJ
z = ângulo J^AD

cordas que se cruzam num ponto fora do círculo:
t = [arco(WJ) - arco(JV)]/2
mas arco(WJ)=90º+w, então
45º = (90º + w - z)/2
90º = 90º + w - z ⇔ w=z

Olá Medeiros ,
Vou sair e só estarei em casa a noite . Quando voltar vou analisar essa sua comprovação , que a principio vejo que está correta . Obrigado pela atenção

Aquela foi uma primeira preocupação minha, Raimundo. Pensando um pouco além concordo que a questão permanece em aberto porque:

O centro O está acima de O'. Girando-se o segmento d em torno de O, sua extremidade não acompanha a circunf. O' e
d + x > R.

Consegui, Raimundo. Posto á noite, quando chegar em casa.

r = 10(sqrt(2) – 1)

S = 100.(3 – 2.sqrt(2)).pi