Movimento Harmônico Simples

por rareirin Sex 09 Nov 2012, 11:28

Uma partícula executa movimento harmônico simples com uma amplitude de 3,00 cm. Em que posição sua velocidade se iguala à metade de sua velocidade máxima ?

por **Robson Jr.** Sex 09 Nov 2012, 12:43

Expressão da força restauradora do MHS:

$\small F=-kx$

Independente de qual seja o causador do MHS, a força restauradora possui o formato da Lei de Hooke e nos permite, portanto, associar uma energia potencial elástica ao sistema. Como não atuam forças dissipativas, a energia mecânica é constante ao longo de todo o movimento.

Sejam os seguintes pontos:

P1) Ponto de abscissa x = 0, onde a energia potencial é nula e a velocidade, logo, é máxima;
P2) Ponto de abscissa x = A (amplitude), onde a energia cinética é nula;
P3) Ponto de abscissa x desconhecida, onde a velocidade é metade da máxima.

Igualando a energia mecânica em P1 e P2, vem:

$\small \frac{kA^2}{2}=\frac{mv^2}{2} \Rightarrow k=\frac{mv^2}{A^2} \text{ (Eq 1)}$

Igualando a energia mecânica em P2 e P3, vem:

$\small \frac{kA^2}{2}=\frac{m\left ( \frac{v}{2} \right )^2}{2}+\frac{kx^2}{2} \Rightarrow kA^2=\frac{mv^2}{4}+kx^2 \text{ (Eq 2)}$

Substituindo Eq 1 em Eq 2, temos:

$\small \frac{mv^2}{A^2}A^2=\frac{mv^2}{4}+\frac{mv^2}{A^2}x^2 \Rightarrow x^2=\frac{3}{4}A^2 \Rightarrow {\color{Red} x=\pm \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ cm}}$

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