FEI-SP semelhanças

por carlos.r Dom 21 Out 2012, 18:04

FEI-SP Na figura ao lado, ABCD é um retângulo e
M é ponto médio de AD. Considerando-se x a medida
da área do triângulo AEM e y a medida da área
do triângulo AEB, é válido afirmar-se que:

a) 2x = y
b) 3x = y
c) 4x = y
d) x = y
e) 3x = 2y

Spoiler:

Não estou conseguindo resolver o exercício. Gostaria de uma ajuda, por favor. Obrigado.

por **Medeiros** Seg 22 Out 2012, 16:28

boa tarde, Carlos.

BC = 2.AM

∆BEC ~ ∆AEM ----> AM/BC = t/(h-t) ----> 1/2 = t/(h-t) ----> h = 3t

$\\ x=S_{\Delta AEM}=\frac{\;\overline{AM}.\,t\;}{2}=\frac{\overline{BC}}{2} \cdot \frac{h}{3} \cdot \frac{1}{2}= \overline{BC}.h.\frac{1}{12} \\\\ \longrightarrow \;\;\; x=\frac{1}{12}\,S_{ABCD} \\\\ \text{e}\;\;\;\;\;\;\;\; x+y=\frac{1}{4}\,S_{ABCD} \;\;\;\;\;\text{(porque M é ponto médio)} \\\\ \therefore \;\; 12x = 4x+4y \;\;\;\longrightarrow \;\;\; 8x=4y \;\;\;\longrightarrow \;\;\; \boxed{\;\; {\color{Red} 2x=y} \;\;}$