Função do segundo grau

Um dos zeros da função f(x)=x²+x+p é zero da função g(x)=x²+5x+3p.
a)Qual é o valor de p?
b)Quais são os zeros de f?
c)Quais são os zeros de g?
Resposta:

Spoiler:

f(x) = x² + x + p ----> Raízes r s

r + s = - 1 ----> I
r*s = p ----> II

g(x) = x² + 5x + 3p -----> Raízes r, t

r + t = - 5 -----> III
r*t = 3p ----> IV

II em IV -----> r*t = 3p ----> r*t = 3*(rs) -----> r*t - 3rs = 0 ---->r*(t - 3s) = 0 ----> Temos duas posibilidades:

a) r = 0 ----> p = 0 ----> f(x) = x² + x ----> f(x) = x*(x + 1) -----> x' = 0 e x" = -1

g(x) = x² + 5x -----> g(x) = x*(x + 5) -----> x' = 0, x" = - 5

b) t = 3s ---->

V em III -----> r + 3s = - 5 ----> VI

I -----> r + s = - 1 -----> r = - 1 - s
VI ---> r + 3s = - 5 ----> (- 1 - s) + 3s = - 5 ----> 2s = - 4 ----> s = - 2

I ----> r = - 1 - (-2) -----> r = 1

V ----> t = 3*(-2) ----> t = - 6