Valores mínimos e ou máximos de funções.

Boa noite, conto com a ajuda dos amigos para resolver os seguintes exercícios:

OBS: Por favor expliquem passo a passo. Se resolverem somente o exercício 1 ajudará muito pois preciso para amanhã !!!

1) Determinar caso houver, os valores mínimos e ou máximos (locais ou não) das seguintes funções:

a) f(x) = 2x+1 (sendo x maior ou igual a zero e menor ou igual a cinco)

b) f(x) = 5x^2 D = R

c) f(x) = x^3 D = R

d) f(x) = x^2 - x D= R

e) x^3 - x

2) Faça o esboço do gráfico das funções do item anterior.

Para achar o máximo e o mínimo de uma função, temos que achar os pontos onde a derivada dessas funções é igual a zero. Vamos lá.

f(x) = 2x + 1, sendo 0 ≤ x ≤ 5
Nesse primeiro caso, nem precisa fazer derivada. A reta é crescente, logo, seu mínimo vai ser onde o domínio começa e o seu máximo vai ser onde o domínio termina. Ou seja, o mínimo é (0,1) e o máximo é (5,11).

f(x) = 5x², sendo D = R
f'(x) = 10x -> 10x = 0 -> x = 0
No ponto x = 0, temos o ponto (0,0) que é mínimo, já que a parábola tem concavidade para cima. Como o domínio está em todos os números reais, essa equação não tem um máximo. Então o mínimo é (0,0).

f(x) = x³, sendo D = R
f'(x) = 3x² -> 3x² = 0 -> x² = 0 -> x = 0
No ponto x = 0, temos o ponto (0,0), mas esse ponto não é de mínimo. Se fizermos a derivada segunda de f(x) e tentarmos achar seus zeros, acharemos também o ponto (0,0), o que indica que aí há uma mudança de concavidade. Então se o ponto (0,0) fosse um ponto de mínimo, não haveria como mudar de concavidade. Então (0,0) não é ponto de mínimo. Aliás, não há ponto de mínimo e nem de máximo, pois o domínio está no conjunto dos números reais.

f(x) = x² - x, sendo D = R
f'(x) = 2x - 1 -> 2x - 1 = 0 -> 2x = 1 -> x = 1/2
Então o ponto (1/2,-1/4) é ponto de mínimo. Não há ponto de máximo pois o domínio está no conjunto dos números reais.

f(x) = x³ - x, sendo D = R
f'(x) = 3x² - 1 -> 3x² - 1 = 0 -> 3x² = 1 -> x² = 1/3 -> x = V1/3 ou - V1/3
Os pontos achados foram (V1/3, - 2/3V3) e (- V1/3, 2/3V3). Então o primeiro ponto é de mínimo e o segundo é de máximo. (Compare seus valores.)

Olhe, quanto ao esboço de gráfico já é uma questão mais complicada e demorada, mas sugiro que dê uma olhada no Wolfram Alpha estas funções.

Espero ter ajudado. ^_^

Valeu Agente Esteves.