Encontre todos os valores de a

por Nat' Qui 02 Ago 2012, 15:43

Encontre todos os valores de a da equação

(a-2)x² - 2(a+3)x + 4a = 0,

para que tenha duas raízes, uma maior do que 3 e a outra menor do que 2.

Resp.: a ∈ ]2;5[

Eu consegui encontrar somente ]2, alguém pode me ajudar a encontrar a resposta completa? Obrigada!

por **Robson Jr.** Sáb 04 Ago 2012, 14:42

Para o enunciado ser satisfeito, basta que 2 e 3 estejam entre as raízes.

Guarde isso: "Um número N estará entre as raízes de ax² + bx + c se a.f(N) < 0."

Se 2 deve estar entre as raízes:

$\small \\ (a-2).f(2)<0 \Leftrightarrow a^2-7a+10<0 \Leftrightarrow 2<a<5$

Se 3 deve estar entre as raízes:

$\small \\ (a-2)f(3)<0 \Leftrightarrow 7a^2-50a+72<0 \Leftrightarrow 2<a<\frac{37}{5}$

Fazendo a interseção dos intervalos encontrados: 2 < a < 5

por **Matheus Basílio** Sáb 04 Ago 2012, 21:16

Robson Jr. escreveu:Guarde isso: "Um número N estará entre as raízes de ax² + bx + c se a.f(N) < 0."

Olá, Robson. Estive pensando, isso é uma aplicação no teorema de Bolzano, não é mesmo? Estou a demonstrá-la. Abraços.

por **Robson Jr.** Sáb 04 Ago 2012, 23:40

Matheus Basílio escreveu:
Olá, Robson. Estive pensando, isso é uma aplicação no teorema de Bolzano, não é mesmo? Estou a demonstrá-la. Abraços.

É somente uma forma de sintetizar duas ideias úteis.

a) Suponha ax² + bx + c, com a > 0, uma equação com duas raízes reais.

Se N está entre as raízes, é fácil ver que f(N) < 0.

b) Suponha ax² + bx + c, com a < 0, uma equação com duas raízes reais.

Se N está entre as raízes, é fácil ver que f(N) > 0.

Veja que a.f(N) < 0 engloba ambas a) e b) Smile