IME - Múltiplos e divisores
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IME - Múltiplos e divisores
por Fernando_Vieira Sex 13 Jul 2012, 16:44
(IME) Considere o número real N = ³√(20 + 14√2) + ³√(20 - 14√2)
MOSTRE que N é inteiro e múltiplo de 4.
MOSTRE que N é inteiro e múltiplo de 4.
Última edição por Fernando_Vieira em Sex 13 Jul 2012, 20:09, editado 2 vez(es)
Fernando_Vieira- Padawan
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Re: IME - Múltiplos e divisores
por aryleudo Sex 13 Jul 2012, 17:27
De acordo com o regulamento deste fórum:
IX- As questões devem ser postadas em modo texto, não sendo aceitas imagens ou links para o enunciado da questão. São aceitas imagens para adicionar figuras esclarecedoras ou que façam parte da questão. Isto se deve ao fato de que os mecanismos de busca, tanto internos quanto externos não reconhecem imagens.
Recomendo que edite a questão!
IX- As questões devem ser postadas em modo texto, não sendo aceitas imagens ou links para o enunciado da questão. São aceitas imagens para adicionar figuras esclarecedoras ou que façam parte da questão. Isto se deve ao fato de que os mecanismos de busca, tanto internos quanto externos não reconhecem imagens.
Recomendo que edite a questão!
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aryleudo- Grande Mestre
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Re: IME - Múltiplos e divisores
por ferrreira Dom 15 Jul 2012, 19:01
Lembre que (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (I) e que (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ (II). Vamos "abrir" 20+14√2 e 20-14√2.
20+14√2 = 8 + 12√2 + 12 + 2√2 = 2³ + 3*2²*√2 + 3*2*(√2)² + (√2)³ (Perceba que segue a idêntidade (I) e podemos tirar que 20+14√2 = (2+√2)³)
20-14√2 = 8 - 12√2 + 12 - 2√2 = 2³ - 3*2²*√2 + 3*2*(√2)² - (√2)³ (Perceba que segue a idêntidade (II) e podemos tirar que 20-14√2 = (2-√2)³)
Daí, temos:
N = ∛(2+√2)³ + ∛(2-√2)³ = 4.
20+14√2 = 8 + 12√2 + 12 + 2√2 = 2³ + 3*2²*√2 + 3*2*(√2)² + (√2)³ (Perceba que segue a idêntidade (I) e podemos tirar que 20+14√2 = (2+√2)³)
20-14√2 = 8 - 12√2 + 12 - 2√2 = 2³ - 3*2²*√2 + 3*2*(√2)² - (√2)³ (Perceba que segue a idêntidade (II) e podemos tirar que 20-14√2 = (2-√2)³)
Daí, temos:
N = ∛(2+√2)³ + ∛(2-√2)³ = 4.
ferrreira- Jedi
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Re: IME - Múltiplos e divisores
por Al.Henrique Dom 15 Jul 2012, 19:26
N = ³√(20 + 14√2) + ³√(20 - 14√2)
Da fatoração :
(a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b)
Nos interessa muito essa fatoração porque sabemos que a+b em questão ja vale N!
Cubando :
N³ = [³√(20 + 14√2) + ³√(20 - 14√2)]³
N³ = 20 + 14√2 + 20 - 14√2 + 3∛(400 -14².2).N
N³ = 40 + 3∛8.N
N³ = 40 +6N
N³ - 6N - 40 = 0
Se N é multiplo de 4 , então N é raiz da equação acima, onde N = 4 atende os quisitos.
Da fatoração :
(a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b)
Nos interessa muito essa fatoração porque sabemos que a+b em questão ja vale N!
Cubando :
N³ = [³√(20 + 14√2) + ³√(20 - 14√2)]³
N³ = 20 + 14√2 + 20 - 14√2 + 3∛(400 -14².2).N
N³ = 40 + 3∛8.N
N³ = 40 +6N
N³ - 6N - 40 = 0
Se N é multiplo de 4 , então N é raiz da equação acima, onde N = 4 atende os quisitos.
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