Aritmética MDC

por **raimundo pereira** Seg 18 Jun 2012, 14:24

Sejam a, b e c três números inteiros positivos tais que o MDC(a , b )= 24 e MDC (b, c)= 36. O número de ternos ordenados ( a,b,c) tais que a+b+c=300 é:

a)0
b)1
c)3
d)5
e)6

por danjr5 Sáb 30 Jun 2012, 14:08

raimundo pereira escreveu:Sejam a, b e c três números inteiros positivos tais que o MDC(a , b )= 24 e MDC (b, c)= 36. O número de ternos ordenados ( a,b,c) tais que a+b+c=300 é:

a)0
b)1
c)3
d)5
e)6

Fiz assim:
Considerei "b" o maior possível, então:

$a = 2^3 . 3^1 ====> b = 2^{(3 + x)} . 3^{(2 + y)} ====> c = 2^2 . 3^2$

Em b, o expoente da base 2 foi comparado a base de a; e o expoente da base 3 comparado a c

Agora temos:
a = 24
c = 36

Então,
a + b + c = 300
24 + b + 36 = 300
b = 240

Segue que:
$2^{(3 + x)} . 3^{(2 + y)} = 240$

$2^{(3 + x)} . 3^{(2 + y)} = 2^4 . 3 . 5$

Como pode notar Raimundo, isso não é possível. Isto é, b ≠ 240 (e este deveria ser o valor de b, para que a + b + c = 300)

Espero ter ajudado!!

Comente qualquer dúvida.

Daniel F.

por **raimundo pereira** Sáb 30 Jun 2012, 15:23

Olá Daniel, grato pelo retorno.

Eu entendi a sua explicação. Meu filho está me dizendo que eu coloquei o gabarito errado, sendo a resposta correta 6 e não zero. Quais são os pares ordenados? Att.

Raimundo.

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