Polígonos.
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Polígonos.
por Al.Henrique Dom 22 Abr 2012, 23:54
Considere as afirmativas :
I. O polígono do qual partem 99 diagonais de cada vértice possui 102 lados.
II. O gênero do polígono cujo número de lados é a décima parte do seu número de diagonais é um número primo.
III. O número de diagonais de um polígono de 27 lados é um quadrado perfeito.
IV. O polígono regular que possui 4800 diagonais que não passam pelo seu centro possui 180 lados.
O numero de afirmativas corretas é igual á :
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Gabarito:
Galera, não consegui provar a I e a IV. Alguem poderia dar um luz aqui ?
Agradeço !
I. O polígono do qual partem 99 diagonais de cada vértice possui 102 lados.
II. O gênero do polígono cujo número de lados é a décima parte do seu número de diagonais é um número primo.
III. O número de diagonais de um polígono de 27 lados é um quadrado perfeito.
IV. O polígono regular que possui 4800 diagonais que não passam pelo seu centro possui 180 lados.
O numero de afirmativas corretas é igual á :
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Gabarito:
- Spoiler:
- Letra (D) 3
Galera, não consegui provar a I e a IV. Alguem poderia dar um luz aqui ?
Agradeço !
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Re: Polígonos.
por Medeiros Seg 23 Abr 2012, 00:08
vou tentar ajudar com a I.
num polígono convexo, o nº de lados é igual ao nº de vértices.
Se de um vértice partem 99 diagonais, então estão sendo atingidos 99 vértices. Mas nesta conta não se considera os dois vértices adjacentes que formam os lados e nem o próprio vértice de origem das diagonais. Então,
99+2+1 = 102 vértices => 102 lados.
por isso que: lados = vértices = diagonais + 3
num polígono convexo, o nº de lados é igual ao nº de vértices.
Se de um vértice partem 99 diagonais, então estão sendo atingidos 99 vértices. Mas nesta conta não se considera os dois vértices adjacentes que formam os lados e nem o próprio vértice de origem das diagonais. Então,
99+2+1 = 102 vértices => 102 lados.
por isso que: lados = vértices = diagonais + 3
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Re: Polígonos.
por Al.Henrique Seg 23 Abr 2012, 00:18
Muito obrigado amigo Medeiros, a numero I foi entendida. 
Resta apenas a IV.
Resta apenas a IV.
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Re: Polígonos.
por Euclides Seg 23 Abr 2012, 01:14
O número de diagonais de um polígono de n lados é dado por:
apenas polígonos pares têm diagonais que passam pelo centro e elas são em número de:
vamos verificar quantas diagonais de um polígono de 180 lados não passam pelo centro:
_____________________________________________
Qual é o polígono que tem 4800 diagonais que não passam pelo centro?
}{2}-\frac{3n}{2}\\\\4800\times 2=n^2-4n\\n^2-4n-9600=0\\\boldsymbol{n=100} "\\4800=\frac{n(n-1)}{2}-\frac{3n}{2}\\\\4800\times 2=n^2-4n\\n^2-4n-9600=0\\\boldsymbol{n=100}")
apenas polígonos pares têm diagonais que passam pelo centro e elas são em número de:
vamos verificar quantas diagonais de um polígono de 180 lados não passam pelo centro:
_____________________________________________
Qual é o polígono que tem 4800 diagonais que não passam pelo centro?
____________________________________________
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