Soma dos termos de P.G. infinita - dúvida

por Tiago Reis Sáb 24 Mar 2012, 15:20

no livro F.M.E, volume 4 tem o seguinte:

S1 = 1/2
S2 = 1/2 + 1/4 = 3/4
S3 = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8
Sn = 1/2 + 1/4 + 1/8 ..... + 1/2^n = (2^n - 1)/2^n

Essa última parte eu não entendi direito como foi feita a soma, se é algum tipo de indução matemática ou ele fez usando alguma fórmula de soma de termos de P.G..

Isso está na pagina 38 do livro citado acima.
Aguardo.

por **Al.Henrique** Sáb 24 Mar 2012, 15:23

Foi por indução sim..
Perceba que ele foi acrescentando termos, sendo o primeiro igual á 1/2 e a razão 1/2.

Ele fez isso pra mostrar que conforme voce for adicionando membros nessa P.G Infinita, ele tende a um numero.

por Tiago Reis Sáb 24 Mar 2012, 15:31

Humn

Como eu poderia chegar naquela fórmula por indução? eu fiquei meio perdido nela.

No mais, obrigado.

por matheuss_feitosa Sáb 24 Mar 2012, 16:34

Cara, não é uma P. G. infinita. O fato de ela estar sendo somada até n quer dizer que ela ACABA em n, portanto é uma P. G. FINITA.
O livro a penas quis mostrar como chegar ao raciocínio das somas infinitas a partir do que fora mostrado anteriormente, as finitas.
Veja que 2^n - 1/2^n pode ser encontrado pela soma de P. G. finita:

Sn=a1(q^n -1)/q-1, onde q=1/2 e a1=1/2

Se a soma fosse infinita seria igual a 1, veja:

S∞= 1/2 + 1/4 + 1/8 ...
S∞= a1/1-q, para q=1/2 e a1=1/2
S∞= 1/2/1-1/2=1

À propósito, qualquer soma infinta de razão q=1/2 vale o dobro do primeiro termo.

Leia até a próxima página para ver que o quando n tense ao infinito, acha-se uma soma convergente que tem como limite o S∞ descrito acima.

Flw

por **JOAO [ITA]** Sáb 24 Mar 2012, 16:56

.Veja que aquela soma é igual a essa:

$Sn=\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^n}$

Donde essa sequência é uma Progressão Geométrica de razão $\frac{1}{2}$ .

.Nós temos que a fórmula da soma dos termos de uma P.G é igual a :

$S_{n}=\frac{a_{1}.(q^n-1)}{q-1}$

.Logo, substituindo a sequência dada na fórmula, tem-se:

$S_{n}=\frac{\frac{1}{2}.[(\frac{1}{2})^n-1]}{\frac{1}{2}-1}=-1.[(\frac{1}{2})^n-1]=-(\frac{1}{2})^n + 1 = \frac{2^n}{2^n}-\frac{1}{2^n} =\frac{2^n-1}{2^n}$

por Tiago Reis Sáb 24 Mar 2012, 17:17

Opa. entendi aqui. Estava vacilando mesmo.

Obrigado Matheus, João.

valew

por **JOAO [ITA]** Sáb 24 Mar 2012, 17:28

.A demonstração dessa fórmula vem a seguir:

$S_{n}=a_{1}+ a_{1}.q+...+a_{1}.q^{n-1}$

.Multiplicando ambos os membros pela razão da progressão, vem que:

$q.S_{n}=a_{1}.q+a_{1}.q^2+..+a_{1}.q^n$

.Perceba que essa nova sequência é igual a:

$q.S_{n}=S_{n}-a_{1}+a_{1}.q^n$

.Logo, temos que:

$q.S_{n}-S_{n}= a_{1}.q^n-a_{1}$

.Fatorando ambos os lados, encontramos:

$(q-1).S_{n}=a_{1}.(q^n-1)$

.E, finalmente, dividindo ambos os membros por $(q-1)\neq 0$ , encontramos a fórmula da soma dos termos de uma Progressão Geométrica Finita:

$S_{n}=\frac{a_{1}.(q^n-1)}{q-1}$

cheers