Soma PG Infinita
4 participantes
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Soma PG Infinita
(MACKENZIE) Sendo S=1+2x+3x²+...( 0< x < 1 ),pode se afirmar que: ?
A resposta é: S=1/(1-x)²
eu achei essa resposta:
Porém, está em uma lista de exercícios básicos de PG, então gostaria de saber se há uma resposta menos trabalhosa do que essa ou se o exercício diverge um pouco da lista mesmo (sei que para alguns pode ser extremamente fácil, mas eu considero esse raciocínio um pouco mais complexo do que a maioria dos exercícios, espero que tenham paciência e compreensão)
Agradeço desde já!
A resposta é: S=1/(1-x)²
eu achei essa resposta:
- Spoiler:
- 1) A questão fornece que
S = 1 + 2x + 3x² + 4.x³... ( I ) * sendo esta uma sequência infinita
> multiplicando ( I ) por x, temos
x.S = x + 2.x² + 3.x³ + 4.x^(4)... ( II )
> Subtraindo ( I ) e ( II )
S - S.x = 1 - x + 2x - 2.x² + 3.x² - 3.x³ + 4.x³ - ...
colocando " S " em evidência no lado esquerdo da igualdade e efetuando as operações aritméticas do lado direito da igualdade, chegamos a expressão
S. ( 1 - x ) = 1 + x + x² + x³ + ... ( IV )
> Perceba que o lado direito da igualdade tem uma peculiaridade..parece bastante com uma soma de uma P.G infinita de razão "x", né verdade? ..Uma vez que essa variável obedeçe o critério 0
S(∞) = A1/ (1-q) ( V )
sendo "A1" o primeiro termo da P.G ( que nessa questão será igual a 1) e "q" a razão desta( que nessa questão será igual a x, conforme foi dito anteriormente).
> Igualando ( IV ) e ( V ), temos
S.(1-x) = S(∞)
Fazendo os cálculos, temos
S. ( 1- x) = 1 / ( 1 - x)
Multiplicando os dois lados da igualdade por 1/ ( 1 - x ), concluímos que
S = [ 1 / ( 1 - x) ] ²
S = 1 / (1 - x)²
Porém, está em uma lista de exercícios básicos de PG, então gostaria de saber se há uma resposta menos trabalhosa do que essa ou se o exercício diverge um pouco da lista mesmo (sei que para alguns pode ser extremamente fácil, mas eu considero esse raciocínio um pouco mais complexo do que a maioria dos exercícios, espero que tenham paciência e compreensão)
Agradeço desde já!
Última edição por cami_cam em Sáb 21 Jul 2018, 00:01, editado 1 vez(es)
cami_cam- Padawan
- Mensagens : 67
Data de inscrição : 15/06/2018
Idade : 31
Localização : São Paulo, SP, BR
Re: Soma PG Infinita
Se ta numa lista de PG é pra ser feito dessa forma mesmo. Essa ideia pode parecer complexa a primeira vista, mas ela é bem conhecida, talvez tenham exagerado em colocar entre os "básicos"
Segue uma ideia pra fazer mais rápido, apenas como curiosidade:
f(x) = 1 + 2x + 3x² + ....
g(x) = x + x² + x³ + ...
de forma que f(x) = g'(x)
Assim, como g(x) é uma PG simples:
g(x) = x/(1-x)
derivando:
g'(x) = [(1-x)-(-x)]/(1-x)² = 1/(1-x)²
Segue uma ideia pra fazer mais rápido, apenas como curiosidade:
f(x) = 1 + 2x + 3x² + ....
g(x) = x + x² + x³ + ...
de forma que f(x) = g'(x)
Assim, como g(x) é uma PG simples:
g(x) = x/(1-x)
derivando:
g'(x) = [(1-x)-(-x)]/(1-x)² = 1/(1-x)²
CaiqueF- Monitor
- Mensagens : 1237
Data de inscrição : 16/05/2012
Idade : 28
Localização : Salvador -> São Carlos
Re: Soma PG Infinita
Oi, Caique!
Obrigada por me esclarecer! Eu vi essa por derivada também!
Eu acho que exageram mesmo, mas olhei de novo a resolução e o raciocínio ficou menos complexo. É a primeira vez que vejo esse estilo, creio que depois, quando surgirem outras desse jeito, eu consiga desenvolver sem maiores problemas. Acho que só fiquei pensativa mesmo se era o caminho mais fácil por conta da lista.
Obrigada por sua disposição e paciência
Obrigada por me esclarecer! Eu vi essa por derivada também!
Eu acho que exageram mesmo, mas olhei de novo a resolução e o raciocínio ficou menos complexo. É a primeira vez que vejo esse estilo, creio que depois, quando surgirem outras desse jeito, eu consiga desenvolver sem maiores problemas. Acho que só fiquei pensativa mesmo se era o caminho mais fácil por conta da lista.
Obrigada por sua disposição e paciência
cami_cam- Padawan
- Mensagens : 67
Data de inscrição : 15/06/2018
Idade : 31
Localização : São Paulo, SP, BR
Re: Soma PG Infinita
Tem uma outra maneira de fazer o exercício.:
Temos S=1+2x+3x^2+... (i)
Multiplicando por x , teremos .:
x.S=x+2.x^2+3.x^3+.... (ii)
Subtraindo (II) de (i) .:
S.(1-x)=1+x+x^2+x^3+...
Utilizando a fórmula da soma da P.G infinita , temos .:
S.(1-x)=1/(1-x)
S=1/(1-x)^2
Temos S=1+2x+3x^2+... (i)
Multiplicando por x , teremos .:
x.S=x+2.x^2+3.x^3+.... (ii)
Subtraindo (II) de (i) .:
S.(1-x)=1+x+x^2+x^3+...
Utilizando a fórmula da soma da P.G infinita , temos .:
S.(1-x)=1/(1-x)
S=1/(1-x)^2
Matheus Tsilva- Fera
- Mensagens : 1167
Data de inscrição : 16/07/2015
Idade : 25
Localização : Uberaba, MG
Fibonacci13 e fernandaaaaaaaaaa gostam desta mensagem
Re: Soma PG Infinita
obrigada, Matheus! Precisava rever esse exercício mesmo. Na época eu fiquei um pouco irritada com ele HAHAHA
Obrigada por sua ajuda!
Obrigada por sua ajuda!
cami_cam- Padawan
- Mensagens : 67
Data de inscrição : 15/06/2018
Idade : 31
Localização : São Paulo, SP, BR
Re: Soma PG Infinita
Kkkkk
Matheus Tsilva- Fera
- Mensagens : 1167
Data de inscrição : 16/07/2015
Idade : 25
Localização : Uberaba, MG
Re: Soma PG Infinita
Uma maneira um tanto quanto diferente é usando "polinômio antidiferença".
Fazendo f(i) = iq^i, então:
Sendo F(i) a antidiferença de f(i), dessa forma:
Queremos com n tendendo ao infinito, e sendo -1 < q < 1 temos que aquela soma é igual a 1/(1-q)^2
As duas primeiras resoluções são bem mais simples que essa, é melhor usar essa forma em alguns exercícios mais difíceis de somas, mas, de certa forma, é outra maneira de se resolver.
Esse assunto eu vi no livro "Manual de sequencias e séries Vol 1", do autor Luís Lopes, caso alguém tenha alguma curiosidade sobre essa ideia.
Fazendo f(i) = iq^i, então:
Sendo F(i) a antidiferença de f(i), dessa forma:
Queremos com n tendendo ao infinito, e sendo -1 < q < 1 temos que aquela soma é igual a 1/(1-q)^2
As duas primeiras resoluções são bem mais simples que essa, é melhor usar essa forma em alguns exercícios mais difíceis de somas, mas, de certa forma, é outra maneira de se resolver.
Esse assunto eu vi no livro "Manual de sequencias e séries Vol 1", do autor Luís Lopes, caso alguém tenha alguma curiosidade sobre essa ideia.
fantecele- Fera
- Mensagens : 1217
Data de inscrição : 14/09/2014
Idade : 27
Localização : Nova Venécia-ES, Brasil
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
|
|