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Soma PG Infinita

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Resolvido Soma PG Infinita

Mensagem por cami_cam Sex 20 Jul 2018, 23:23

(MACKENZIE) Sendo S=1+2x+3x²+...( 0< x < 1 ),pode se afirmar que: ?

A resposta é: S=1/(1-x)²


eu achei essa resposta:
Spoiler:



Porém, está em uma lista de exercícios básicos de PG, então gostaria de saber se há uma resposta menos trabalhosa do que essa ou se o exercício diverge um pouco da lista mesmo (sei que para alguns pode ser extremamente fácil, mas eu considero esse raciocínio um pouco mais complexo do que a maioria dos exercícios, espero que tenham paciência e compreensão)


Agradeço desde já!


Última edição por cami_cam em Sáb 21 Jul 2018, 00:01, editado 1 vez(es)

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Resolvido Re: Soma PG Infinita

Mensagem por CaiqueF Sex 20 Jul 2018, 23:41

Se ta numa lista de PG é pra ser feito dessa forma mesmo. Essa ideia pode parecer complexa a primeira vista, mas ela é bem conhecida, talvez tenham exagerado em colocar entre os "básicos"

Segue uma ideia pra fazer mais rápido, apenas como curiosidade:

f(x) = 1 + 2x + 3x² + ....
g(x) = x + x² + x³ + ...

de forma que f(x) = g'(x)

Assim, como g(x) é uma PG simples:
g(x) = x/(1-x)
derivando:
g'(x) = [(1-x)-(-x)]/(1-x)² = 1/(1-x)²
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Resolvido Re: Soma PG Infinita

Mensagem por cami_cam Sex 20 Jul 2018, 23:58

Oi, Caique!

Obrigada por me esclarecer! Eu vi essa por derivada também!
Eu acho que exageram mesmo, mas olhei de novo a resolução e o raciocínio ficou menos complexo. É a primeira vez que vejo esse estilo, creio que depois, quando surgirem outras desse jeito, eu consiga desenvolver sem maiores problemas. Acho que só fiquei pensativa mesmo se era o caminho mais fácil por conta da lista. 

Obrigada por sua disposição e paciência Smile

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Resolvido Re: Soma PG Infinita

Mensagem por Matheus Tsilva Sex 16 Nov 2018, 21:51

Tem uma outra maneira de fazer o exercício.:

Temos S=1+2x+3x^2+...  (i)

Multiplicando por x , teremos .:

x.S=x+2.x^2+3.x^3+....   (ii)

Subtraindo (II) de (i) .:

S.(1-x)=1+x+x^2+x^3+...

Utilizando a fórmula da soma da P.G infinita , temos .:

S.(1-x)=1/(1-x)

S=1/(1-x)^2
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Fibonacci13 e fernandaaaaaaaaaa gostam desta mensagem

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Resolvido Re: Soma PG Infinita

Mensagem por cami_cam Sex 16 Nov 2018, 22:08

obrigada, Matheus! Precisava rever esse exercício mesmo. Na época eu fiquei um pouco irritada com ele HAHAHA

Obrigada por sua ajuda!

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Resolvido Re: Soma PG Infinita

Mensagem por Matheus Tsilva Sex 16 Nov 2018, 22:09

Kkkkk
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Resolvido Re: Soma PG Infinita

Mensagem por fantecele Qui 03 Jan 2019, 23:54

Uma maneira um tanto quanto diferente é usando "polinômio antidiferença".



Fazendo f(i) = iq^i, então:



Sendo F(i) a antidiferença de f(i), dessa forma:



Queremos com n tendendo ao infinito, e sendo -1 < q < 1 temos que aquela soma é igual a 1/(1-q)^2

As duas primeiras resoluções são bem mais simples que essa, é melhor usar essa forma em alguns exercícios mais difíceis de somas, mas, de certa forma, é outra maneira de se resolver.

Esse assunto eu vi no livro "Manual de sequencias e séries Vol 1", do autor Luís Lopes, caso alguém tenha alguma curiosidade sobre essa ideia.

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