[DÚVIDA] - Demonstração Matrizes

Seja D, uma matriz diagonal n x n, tal que D = [dij]nxn, dij = hj se i = j e dij = 0 se i <> j. E A uma matriz quadrada tal que A = [aij]nxn e A1, A2, A3...An as colunas de A, tal que
A = [A1 A2 A3 ... Aj] . Mostre que:
A.D = [h1.A1 h2.A2 h3.A3 ... hn.An]

A matriz D seria hI, ou seja h vezes a matriz identidade
A(hI)=Ah=hA
Sendo A a matris de colunas A1,A2,...,An, ao multiplicamos h por A multiplicamos cada termo de A por h, senso A1,... colunas ao multiplicarmos por h todos os termos serão multiplicados porh
No final das contas, o h é multiplicado a todos os elementos da matriz A

Kongo escreveu:Seja D, uma matriz diagonal n x n, tal que D = [dij]nxn, dij = hj se i = j e dij = 0 se i <> j. E A uma matriz quadrada tal que A = [aij]nxn e A1, A2, A3...An as colunas de A, tal que
A = [A1 A2 A3 ... Aj] . Mostre que:
A.D = [h1.A1 h2.A2 h3.A3 ... hn.An]

Vou fazer com n = 2 ...

Sejam:

D, uma matriz diagonal n x n, tal que D = [dij]nxn, dij = hj se i = j e dij = 0 se i <> j



A, uma matriz quadrada tal que A = [aij]nxn



A1, A2, A3...An as colunas de A, tal que A = [A1 A2 A3 ... Aj]



Mostre que:

A.D = [h1.A1 h2.A2 h3.A3 ... hn.An]

Mostrando: :cyclops:



:face:

rihan
Mas uma demonstração não deveria ser para um caso geral? Eu até consegui colocar alguns exemplos. O problema que eu não consegui provar pra um caso geral de jeito nenhum hASUhs

georgito
Poxa..Interessante o jeito que tu fez. Nem tinha pensado hAUSH

Kongo escreveu:Seja ... Mostre que: ...

Mostrar é uma coisa.

Demonstrar é outra.

Agora, você pode perder um tempo enorme, partindo da DEFINIÇÃO de PRODUTO DE MATRIZES, trabalhar com Somatórios, índices e o esquimbal para DEMONSTRAR essa bobagem aí...

Ou, se quiser perder menos tempo, dar um tratamento VETORIAL às MATRIZES, imaginanbo-as como vetores de vetores, e partindo da definição de PRODUTO ESCALAR (OU INTERNO) DE VETORES, as tralhas de somatórios, índices e as berimbimbelas das parafusetas mais, e chegar ao mesmo resultado.

Eu sempre enxerguei assim as matrizes: uma mera coleção de vetores coluna (ou vetores linha)...

O que essa questão pressupõe é que: quem a lê não sabe "matematiquês", tranformar a linguagem simbólica matemática em algo reconhecido.

Creio que não é o seu caso.

Fiz a "mostra" com n = 2 para não perder tempo e você, e quem mais vier, poder "visualizar" a tradução.

Saudações Vetoriais !

rihan escreveu:

Kongo escreveu:Seja ... Mostre que: ...

Mostrar é uma coisa.

Demonstrar é outra.

Agora, você pode perder um tempo enorme, partindo da DEFINIÇÃO de PRODUTO DE MATRIZES, trabalhar com Somatórios, índices e o esquimbal para DEMONSTRAR essa bobagem aí...

Ou, se quiser perder menos tempo, dar um tratamento VETORIAL às MATRIZES, imaginanbo-as como vetores de vetores, e partindo da definição de PRODUTO ESCALAR (OU INTERNO) DE VETORES, as tralhas de somatórios, índices e as berimbimbelas das parafusetas mais, e chegar ao mesmo resultado.

Eu sempre enxerguei assim as matrizes: uma mera coleção de vetores coluna (ou vetores linha)...

O que essa questão pressupõe é que: quem a lê não sabe "matematiquês", tranformar a linguagem simbólica matemática em algo reconhecido.

Creio que não é o seu caso.

Fiz a "mostra" com n = 2 para não perder tempo e você, e quem mais vier, poder "visualizar" a tradução.

Saudações Vetoriais !

Eu achava que era a mesma coisa hASYs. Parece trabalhoso mesmo...

georgito
Agora percebi que na sua resolução o h é único e invariável. Porém percebe-se que na questão que h varia

Ok !

O principal da questão:

A MULTIPLICAÇÃO de 2 coleções multidimensiomais ou multipotenciais pode ser vista como a multiplicação escalar (interna, interior, "." "ponto", "dot"...) entre "VETORES LINHA" por "VETORES COLUNA" correspondentes.

Isso faz com se gaste menos espaço no separador de orelhas...

Basta saber a definição de PRODUTO ESCALAR ( Interno ):

Sejam os vetores x(x1; x2; x3; ... xn) e y(y1; y2; ... yn) em ( ou , se quiser...), o "Produto Interno" entre eles é definido por:

x · y ≡ Σ (x_k . y_k)

x · y ≡ x₁ . y₁ + x₂ . y₂ + ... + x_n . y_n

Textualmente, para quem prefere, "soma dos produtos de suas coordenadas correspondentes."

Entre vetores o resultado é UM "ESCALAR", uma "coleção" de UM SÓ ELEMENTO. :face:.

x(1; 2) e v(30;40)

x · y = 1.30 + 2.40 = 30 + 80 = 110

Entre coleções bidimensionais ("matrizes"), o resultado é uma outra coleção:



Deixo incompleto para você mesmo pensar e completar...

Coisas recursivas são complicadas mesmo.

Nossos cérebros odeiam ...

Mas, exercitando-se, a câimbra vai diminuindo...

E vamos lá ! !

rihan escreveu:

A coleção h tem 2 elementos distintos : {h1; h2}

:cyclops::cyclops: :cyclops: :cyclops:

rihan
Eu me referia a afirmação do gorgito em que ele diz que D = h.I

Kongo, o que eu falei estava errado mesmo, desculpa ai cara, mas pensando de modo semelhante:

A matriz D será a matriz diagonal cuja diagonal principal será:1,2,3,4,5...n

Fazendo a multiplicação A.D, você percebe que terá que multiplicar ordenadamente os elementos das linhas de A pelos elementos das colunas de D. Deste modo, ao multiplicar a linha i de A pela coluna j de D, você obterá o elemento cij = aij x hj, pois há zeros em D.

Logo, elementos da mesma coluna j de A estarão multiplicados pelo mesmo hj.

E Vamos Lá !