Prova do ângulo de reflexão.

Você quando está, estava estudando optica, se depara:
O ângulo que o raio incidente faz com a horizontal é igual ao ângulo que o raio refletido faz com a horizontal. Muitas vezes estudamos livros que apenas dão essa afirmativa, não a provam. É para isso que eu fiz esse tópico. Antes de fazer a demonstração, gostaria de introduzir o conceito de derivada:
A derivada de uma função em um ponto é igual ao coeficiente angular da reta tangente àquele ponto da função. (Não é necessário saber calcular derivadas , só queria que vocês pegassem o conceito.) Exemplo:
f(x)=x², a derivada dessa função é : f'(x)=2x. No ponto (2,f(2))=(2,4) a derivada é f'(2)=4, quer dizer que a reta tangente ao ponto (2,4) tem coeficiente angular igual a 4. Quando o ponto é um máximo ou mínimo da função a derivada será nula, isto é, a reta tangente à esse ponto será paralela ao eixo X. Esboçe o desenho de uma função qualquer e comprovará, ou ultilize o exemplo daqui em cima.

Bom vamos esboçar nosso experimento:


A distância percorrida pela luz é AP+PB=d. Segundo o Princípio de Fermat, a luz percorre sempre a menor distância possível. Vamos calcular a distância percorrida pela luz:

Como queremos a menor distância temos que encontrar a derivada (d'(x)=0), lembra que a derivada de um mínimo é igual zero? Vamos igualar a derivada da função d(x) e depois igualar a zero. Lembre-se que a derivação da função não é requerida nesse tópico.



Repare que as frações que estão do lado da igualdade são exatamente o cosseno dos ângulos:


Como temos que



Então:





Só quero avisar que esse tópico não enfoca em cálculo, e sim na demonstração de uma afirmação.

Muito bom, Gabriel. Foi interessante. Isso tudo está fundamentado no Princípio de Fermat e a demonstração matemática dele decorre.

Acho que ficará interessante na seção CQD e vou movê-lo para lá.

Gabriel

Muito bem mostrado.
Tomei a liberdade de fazer uma pequena correção (em vermelho), já que vc tinha escrito " a tangente a este ponto será nula".

Existe um outro modo de mostra, bem simples, na imagem abaixo

Sejam F e R o objeto e a imagem no espelho mostrado, com as respectvas distâncias ao espelho.
Seja R' o ponto simétrico de R em relação ao espelho
Se a imagem estivesse em R' o raio luminoso iria direto de F até R' (ela percorre uma linha reta)
O ângulo entre o prolongamento do raio incidente e o espelho vale a (opostos pelo vértice)
Note que, por construção os dois triângulos retângulos da direita são idênticos.

Neste caso o ângulo entre o raio refletido e o espelho TAMBÉM vale a -----> Pronto: demonstrado

Obrigado pelos elogio, correções e tudo mais Euclides e Elcioshin.