valor do ângulo a

Na figura abaixoAB=AC ,calcule â



A)20º

B)28º

C)29ºe30'

D)30º

E)N.R.A.



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Este é um problema difícil e famoso: é o triângulo russo. Na figura ABC é isósceles com  = 20º. Calcular
o valor do ângulo X.

Façamos BC = m.

No Δ isósceles ABC: ângulo ABC = ângulo ACB = (180º - 20º)/2 = 80º ---> ângulo CBE = 80º

Ângulo DBE + ângulo CBD = ângulo ABC---> ângulo DBE + 60º = 80º ---> ângulo DBE = 20º

Ângulo ECD + ângulo ECB = ângulo ACB ---> ângulo EC D BEC + 50º = 80º -- ---> ângulo ECD = 30º

No Δ CBE: ângulo BEC + ângulo BCE + ângulo CBE = 180º ---> ângulo BEC BEC + 50º + 80º = 180º ---> ângulo BEC = 50º. Logo o Δ CBE é isósce isósceles (50º, 50º, 80º) e BE = BC = m.

No Δ BDC: ângulo BDC + ângulo DBC + ângulo BCD = 180º ---> ângulo BDC ângulo BCD + 60º + 80º = 180º --->

ângulo BCD = 40º.

A Agora é que vem o “pulo do gato”:

Marquemos sobre a reta CD um ponto F tal que: ângulo CBF = 20º e tracemos a reta BF. Tracemos também a reta EF.

No Δ BCF: ângulo CFB + ângulo BCF + ângulo CBF = 180º ---> ângulo CFB + 80º + 20º = 180º ----> Ângulo CFB = 80º. Logo, o
Δ BCF é isósceisósceles (80º, 80º, 20º) e BF = BC = m.

Ângulo DBF + ângulo CBF = ângulo CBD ---> ângulo DBF + 20º = 40º ---> ângulo DBF = 40º.

No Δ BDF: ângulo BDF = ângulo DBF = 40 º ---> Logo, o Δ FBD é isósce isósceles e DF = BF = m.

No Δ Δ BEF: BE = BF = m, logo o triângulo BEF é isósceles. Logo, ângulo BEF ângulo BEF= ângulo BEF = BFE = (180º - ângulo EBF)/2 = (180º – 60º)/2 = 60º.Logo o triângulo BEF é equilátero ---> EF = m.

Ângulo BFC + ângulo BFE + ângulo DFE = 180º ---> 80º + 60º + ângulo DFE DFE = 180º ---> ângulo DFE = 40º.

O Δ FDE é isósceles (EF = DF = m) --> ângulo DEF = ângulo EDF = (180º - ângulo DFE)/2 --> ângulo DFE = (180º - 40º)/2 = 70º
---> ângulo EDB + ângulo BDF = ângulo DFE ---> X + 40º = 70º ----> X = 30º.