valor de x

Se sin(x)=2 , quanto vale x ?


eu vi essa questão na net , mas não sei nem começar

Resposta : x = (pi/2 + k pi) + ln(2 ± √3) i

Pode se demonstrar(irei omitir a demonstração) usando calculo que para qualquer número complexo x é valida a identidade:
cis x =cos x +isen x =e^ix
Logo:
cos x + isenx = e^ix
cos(-x) +isen(-x) = e^-ix = > cos x - isenx = e^-ix

Faça I - II
2i*sen x = e^ix -e^-ix
senx = (e^ix) -(e^-ix) / 2i (Definição de seno para números complexos)

Chamando: e^ix = k
senx = (k-1/k )/2i
2 = (k-1/k )/2i
4i*k = k² -1
k²-4i*k -1 = 0
d= (-4i)² - (-1)*4 = -16+4 = -12
k = (4i±√-12)/2 = (2±√3)i
Substitua k:
e^ix = (2±√3)i
(2±√3) = e^ln(2 ± √3) (propriedade dos logaritmos)
i = e^i(pi/2 + 2kpi) (Veja a identidade que foi escrita no começo da solução)
e^ix = [e^ln(2 ± √3)][e^i(pi/2 + 2kpi)] = e^[i(pi/2 + 2kpi) + ln(2 ± √3)]
x = (pi/2 + 2kpi) - ln(2 ± √3)i

Tem certeza do gabarito ?

Não , mas que questão tensa ;(

à propósito , o sinal no final do cálculo não é de adição ? não conta acima está uma soma

i = e^i(pi/2 + 2kpi) (Veja a identidade que foi escrita no começo da solução)

eu sinceramente não entendi de onde você tirou isso.

Veja que:
e^ix = cosx + isenx
e^i(pi/2 + 2kpi) = cos (pi/2 + 2kpi) + isen(pi/2 + 2kpi)
e^i(pi/2 + 2kpi) = 0 + 1*i = i
Já na passagem da divisão:
[i(pi/2 + 2kpi) + ln(2 ± √3)]= ix
pi/2 +2kpi + ln(2 ± √3)/i =x
x = (pi/2 + 2kpi) - ln(2 ± √3)

Aqui tem um artigo que fala um pouco mais sobre essas expansões:
https://pir2.forumeiros.com/Series-Infinitas-Elcio-h24.htm

HAHA , com esse artigo eu entendi

Vlw!!!

Não faz parte do ensino médio.

Aprende-se Números Complexos, mas, excetuando-se as funções elementares como adição, multiplicação, potenciação, que não são vistas como função e sim como "operações", não se aprende as demais Funções Complexas como as trigonométricas e as logarítmicas.