Valor pago igual a n vezes o valor financiado

A que taxa mensal de juros compostos deve ser pago um financiamento, em vinte e quatro parcelas mensais iguais, de modo que ao final do prazo o valor pago corresponda a:

a) Uma vez e meia o valor financiado.
b) Duas vezes o valor financiado.

Luiz 2017 escreveu:A que taxa mensal de juros compostos deve ser pago um financiamento, em vinte e quatro parcelas mensais iguais, de modo que ao final do prazo o valor pago corresponda a:

a) Uma vez e meia o valor financiado.
b) Duas vezes o valor financiado.

Conf. regulamento, se conhecer respostas, poste-as.

Luiz 2017 escreveu:A que taxa mensal de juros compostos deve ser pago um financiamento, em vinte e quatro parcelas mensais iguais, de modo que ao final do prazo o valor pago corresponda a:

a) Uma vez e meia o valor financiado.
b) Duas vezes o valor financiado.

Boa tarde, Luiz 2017

24 * PMT = 2 * PV ....... (I)

PMT =PV * [(1+i)^n * i] / [(1+i)^n - 1]

Fazendo i = x (para não confundir com o "i" de imaginário), vem:

PMT = PV * (1+x)^n * x) / [(1+x)^n - 1] ...... (II)

Aplicando-se (II) em (I), vem:

24 * PV * (1+x)^n * x) / [(1+x)^n - 1] = 2 * PV

Simplificando por PV, fica:

24 * (1+x)^n * x / [1+x)^n - 1] = 2

Utilizando o programa WolframAlpha, vem:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=12*(1.065)%5E24+*+x+%3D+(1.065)%5E24+-+1

x ≈ 0,065

Logo,

i = 0,065
i% = 6,5% a.m.





Um abraço.

ivomilton escreveu:

Luiz 2017 escreveu:A que taxa mensal de juros compostos deve ser pago um financiamento, em vinte e quatro parcelas mensais iguais, de modo que ao final do prazo o valor pago corresponda a:

a) Uma vez e meia o valor financiado.
b) Duas vezes o valor financiado.

Boa tarde, Luiz 2017

24 * PMT = 2 * PV ....... (I)

PMT =PV * [(1+i)^n * i] / [(1+i)^n - 1]

Fazendo i = x (para não confundir com o "i" de imaginário), vem:

PMT = PV * (1+x)^n * x) / [(1+x)^n - 1] ...... (II)

Aplicando-se (II) em (I), vem:

24 * PV * (1+x)^n * x) / [(1+x)^n - 1] = 2 * PV

Simplificando por PV, fica:

24 * (1+x)^n * x / [1+x)^n - 1] = 2

Utilizando o programa WolframAlpha, vem:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=12*(1.065)%5E24+*+x+%3D+(1.065)%5E24+-+1

x ≈ 0,065

Logo,

i = 0,065
i% = 6,5% a.m.





Um abraço.

Boa tarde, caro amigo Ivomilton.
Gostaria de saber porquê não pode ser utilizada a fórmula "primordial" de juros compostos?

Calculei assim(pensando que bastaria usar a fórmula básica):


a)M=C(1+i)^t
1,5=1(1+i)^24
1,5=(1+i)^24
²⁴/(1,5)=1+i
1,017≃1+i
i≃0,17
i≃17% a.m

b)M=C(1+i)^t
2=1(1+i)^24
2=(1+i)^24
²⁴/2=1+i
1,0293≃1+i
i≃0,293
i≃29,3% a.m


Poderia me explicar porquê nesse problema foi utilizado essa fórmula pela qual você calculou?
Grande abraço.

jota-r escreveu:

Luiz 2017 escreveu:A que taxa mensal de juros compostos deve ser pago um financiamento, em vinte e quatro parcelas mensais iguais, de modo que ao final do prazo o valor pago corresponda a:

a) Uma vez e meia o valor financiado.
b) Duas vezes o valor financiado.

Conf. regulamento, se conhecer respostas, poste-as.

Jota, encontrei esta questão na internet sem gabarito. Portanto para saber a resposta terei que resolver. Vou fazer isto com o uso da fórmula de Baily:

i = h \times \frac {12 - (n-1) \cdot h}{12 - 2 \cdot (n-1) \cdot h}

onde

h = \left( \frac{n \cdot PMT}{PV}\right)^ \frac{2}{n+1} - 1

Solução:


a) Valor total pago igual a uma vez e meia o valor financiado:

n = 24 meses
24*PMT = 1,5*PV => PV = 16*PMT

Substituindo valores:

h = \left( \frac{24 \cdot PMT}{16 \cdot PMT} \right)^ \frac{2}{24+1} - 1

h = \left(1,5 \right)^ {0,08} - 1

h = 1,032969 - 1

h = 0,032969


i = 0,032969 \times \frac {12 - (24-1) \cdot 0,032969}{12 - 2 \cdot (24-1) \cdot 0,032969}

i = 0,032969 \times \frac {11,241713}{10,483426}

i = 0,032969 \times 1,07233198

i = 0,03535

\bf{ i \approx 3,535 \% \;a.m. }



b) Valor total pago igual a duas vezes o valor financiado:

n = 24 meses
24*PMT = 2*PV => PV = 12*PMT

Substituindo valores:

h = \left( \frac{24 \cdot PMT}{12 \cdot PMT} \right)^ \frac{2}{24+1} - 1

h = \left(2 \right)^ {0,08} - 1

h = 1,057018 - 1

h = 0,057018


i = 0,057018 \times \frac {12 - (24-1) \cdot 0,057018}{12 - 2 \cdot (24-1) \cdot 0,057018}

i = 0,032969 \times \frac {10,688586}{9,377172}

i = 0,032969 \times 1,139851759

i = 0,06499

\bf{ i \approx 6,5 \% \;a.m. }

(bate com o valor calculado por Ivomilton com uso do Wolfram-Alpha)

Duduu2525 escreveu:
Boa tarde, caro amigo Ivomilton.
Gostaria de saber porquê não pode ser utilizada a fórmula "primordial" de juros compostos?

Calculei assim(pensando que bastaria usar a fórmula básica):

a)M=C(1+i)^t
1,5=1(1+i)^24
1,5=(1+i)^24
²⁴/(1,5)=1+i
1,017≃1+i
i≃0,17
i≃17% a.m

b)M=C(1+i)^t
2=1(1+i)^24
2=(1+i)^24
²⁴/2=1+i
1,0293≃1+i
i≃0,293
i≃29,3% a.m

Poderia me explicar porquê nesse problema foi utilizado essa fórmula pela qual você calculou?
Grande abraço.

Olá.

Vi que sua pergunta foi dirigida ao Ivomilton. Como fui eu que formulou a questão vou dar um pitaco, apenas para clarear melhor a questão.

Nas operações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez, ou através de uma sucessão, ou série, de pagamentos ou recebimentos. Fluxos de pagamentos com quantias única e em série têm tratamentos distintos.

As variáveis envolvidas nas operações financeiras com capital a ser pago ou recebido de uma só vez são PV, FV, n, i (siglas encontradas na maioria das calculadoras financeiras).

Cada parcela de uma série de pagamentos ou recebimentos, saques ou depósitos, é denominada prestação. Então, em parcelamentos, surge uma outra variável que é representada pela sigla PMT (também é encontrada na maioria das calculadoras financeiras), que representa as referidas parcelas periódicas.

- Nos pagamentos ou recebimentos feitos de uma só vez, usa-se a fórmula:

FV = PV \cdot (1+i)^n

ou invertendo as variáveis

PV = FV \cdot (1+i)^{-n}

- Já nas operações de financiamento com pagamentos ou recebimentos parccelados, usa-se a fórmula:

PV = PMT \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}

onde:

PV = valor presente.
FV = valor futuro.
PMT = pagamento ou recebimento periódico.
n = número de períodos de tempo.
i = taxa periódica de juros.

Nota: esta última equação é implícita em relação a "i", isto é, não é possível explicitar algebricamente o valor de "i", que no presente caso recai-se numa equação do 24º grau cuja solução só é possível com auxílio de software como o Wolfran-Alpha, tal como fez o Ivomilton, ou com auxílio de calculadoras financeiras, ou então, encontra-se a taxa com o uso  de equações aproximadas, como a de Baily, que eu usei.

Ah sim, quando estudei juros compostos não me aprofundei em matemática financeira, por isso está fora de meu conhecimento.

Obrigado pelo esclarecimento, Luís.
Grande abraço!