Polinômio.

P(x) é um polinômio cujas raízes formam uma progressão geométrica de razão 2 e primeiro termo 2. O coeficiente do termo de mais alto grau de P(x) é 1 e o termo independente é igual a 2^21. Qual é o grau desse polinômio?

Você tem um polinômio assim:
P(x) = x^(grau mais alto) + ... + 2^21
Quando o coeficiente do termo de grau mais alto é um, então o termo independente é o produto das raízes.

Então, se temos uma progressão geométrica de razão 2 e primeiro termo 2, então temos uma progressão assim:
2, 2², 2^3, 2^4, 2^5

E, sabemos que numa multiplicação entre potências, nós somamos os expoentes. Então, só vamos precisar saber quais são os termos que, em sequência, temos que somar para formar o expoente 21.
1 + 2 + 3 + 4 = 10...
10 + 5 + 6 = 21!
Ou seja, vamos precisar multiplicar 2, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5 e 2^6. São seis termos. Ou seja, são seis raízes. Logo, esse polinômio é de sexto grau.


Espero ter ajudado. ^_^

produto
x1.x2.x3....=2^21
2.2².2³....2^n=2^21
(2^(1+2+3+...n)=21
soma de uma PA
1+2+3+...+n=21
(1+n).n/2=21
n²+n-42=0
n=6 ou n=-7 (não convém)
logo, temos 6 raízes.
Pelo teorema fundamental da álgebra, temos que o grau do polinômio é 6.

Espero que seja isso e que te ajude.