Conjuntos

Uma pesquisa feita com todos os sócios de um determinado clube social revelou, entre outros, os seguintes resultados:

I- 40% dos sócios são do sexo feminino e, entre estas sócias, 70% têm 20 ou menos de 20 anos de idade.
II- Entre os sócios do sexo feminino com mais de 20 anos de idade, 70% frequentam somente nos finais de semana.

Qual é o número total de sócios desse clube, sabendo-se que nele há 18 sócias, com mais de 20 anos, que frequentam o clube diariamente?

Gabarito: 500

Olá. O segredo para esse tipo de problema é começar da informação mais específica até chegar na mais geral.
Sabemos que 70% das mulheres com mais de 20 anos frequentam o clube somente nos fins de semana. Isso nos leva a concluir que os 30% restantes das mulheres com mais de 20 anos frequentam em todos os dias da semana. Sabemos que, ao total, 18 mulheres com mais de 20 anos frequentam o clube todos os dias. Isso quer dizer que 30% das mulheres com mais de 20 anos equivale a 18 pessoas. Com essa informação conseguimos descobrir quantas sócias têm mais de 20 anos. Vamos chamar de x a quantidade de sócias com mais de 20 anos. Sabemos que 30% de x é igual a 18:
[latex]30%x=18 \rightarrow \frac{30}{100}x=18 \rightarrow \frac{3}{10}x=18 \rightarrow 3x=18.10 \rightarrow x=\frac{180}{3} \rightarrow x=60 [/latex]
Sabemos então que 60 sócias têm mais de 20 anos. Dentre as informações do problema, nos foi dito que 70% das mulheres têm menos de 20 anos. Isso quer dizer que 30% das sócias têm mais de 20 anos. E, acabamos de descobrir que 60 delas têm mais de 20 anos. Podemos então usar essa informação para descobrirmos a quantidade de mulheres. Vamos lá. Sabemos que 30% das mulheres têm mais de 20 anos, e isso corresponde a 60 pessoas. Chamando de M a quantidade de mulheres:
[latex]30%M=60 \rightarrow \frac{30}{100}M=60 \rightarrow \frac{3}{10}M=60 \rightarrow 3M=600 \rightarrow M=\frac{600}{3} \rightarrow M=200 [/latex]
Com isso descobrimos que a quantidade de sócios que são mulheres é 200.
A última informação que usamos é a primeira que nos foi dada: 40% dos sócios são do sexo feminino. Logo, chamando a quantidade total de socios de S, temos que 40% de S é igual a 200. Assim
[latex]\frac{40}{100}S=200 \rightarrow \frac{4}{10}S=200 \rightarrow 4S=2000 \rightarrow S=\frac{2000}{4} \rightarrow S=500 [/latex]