Dúvida em relação à questão de Números Complexos

por Lu@r Sex 12 Abr 2024, 18:10

Seja Z um número complexo tal que [latex]|Z - 2| = 2|Z - 1|[/latex].
Sabendo que a expressão [latex]\frac {Re(Z)} {|Z|^2}[/latex] pode ser escrito na forma [latex]\frac {p} {q}[/latex], onde [latex]p , q[/latex] são números inteiros positivos primos entre si.
Então, podemos afirmar que o valor de [latex]p^2 + q^2[/latex] é um número:

A) Par.
B) Quadrado Perfeito.
C) Cubo Perfeito.
D) Divisível por 6
E) Múltiplo de 7

Gabarito: B)
Cheguei no resultado indicado pela letra A), mas não consegui entender no que exatamente errei...

por **Elcioschin** Sex 12 Abr 2024, 19:07

Nem nós podemos entender, já que vc não postou o passo-a-passo da sua solução. Por favor, poste-a.

por Lu@r Sex 12 Abr 2024, 19:25

| Z - 2 | = 2(|Z - 1|) => (|Z - 2|)^2 = 4(|Z - 2|)^2 => (x - 2)^2 + y^2 = 4(x - 1)^2 + 4y^2 =>
(4x^2 -8x + 4) - (x^2 -4x + 4) + 3y^2 = 0 => 3x^2 + 3y^2 -4x = 0

Com isso, sabemos que Z pertence à circunferência de equação: 3x^2 + 3y^2 -4x = 0, cujo Centro é (2/3, 0) e seu
Raio é 2/3.

Concluímos também que: |z|^2 = 4/9

Com isso:

p/q = Re(Z)/|z|^2

0 <= Re(Z) <= 4/3
0 <= Re(Z)/(4/9) <= 3
0 <= p/q <= 3

Sendo p e q números inteiros positivos e primos entre si, a fração p/q é irredutível, o que nos permite concluir que:

p = 3
q = 1

p^2 + q^2 = 10

Segui essa linha de raciocínio... Mas, revendo a solução acho que entendi o erro, eu considerei apenas o caso em que a fração seria igual a 3...

Mas, partindo da expressão 0 <= p/q <= 3, como poderia concluir a questão?

por **Elcioschin** Sex 12 Abr 2024, 21:43

Apenas complementando ---> z = x + y.i

3.x² - 4.x + 3.y² = 0 ---> :3 ---> x² - (4/3).x + y² = 0 --->

x² - 2.(2/3).x + 4/9 + y² = 4/9 ---> (x - 2/3)² + (y - 0)² = (2/3)²

C(2/3, 0) e R = 2/3

Você não demonstrou que |z|² = 4/9 ---> Mostre por favor.

por Lu@r Sex 12 Abr 2024, 22:19

Percebi meu erro, e peço perdão pelos equívocos...

Segue a resolução com as devidas correções:

Z = x + y.i

Pelo enunciado, temos que:

|z - 2| = 2.|z - 1|
(|z - 2|)^2 = 4.(|z - 1|)^2
(x - 2)^2 + y^2 = 4.[(x - 1)^2 + y^2]
x^2 - 4.x + 4 + y^2 = 4.(x + 1)² + 4.y^2
x^2 - 4.x + 4 + y^2 = 4.x^2 - 8.x + 4 + 4.y^2
3.x^2 + 3.y^2 - 4.x = 0
x^2 + y^2 - (4/3).x = 0

x^2 + y^2 = (4/3).x

Pela definição de módulo de número complexo:

|z| = sqrt(x^2 + y^2) => |z|^2 = x^2 + y^2

Com isso:

|z|^2 = (4/3).x

Sabemos que:

Re(z)/|z|^2 = p/q [Re(z) = x]
x/[(4/3).x] = p/q
p/q = 3/4

p e q são números inteiros positivos e primos entre si. Dessa forma, concluímos que a fração p/q é irredutível.

Portanto:
p = 3
q = 4

p^2 + q^2 = 9 + 16 = 25

Pelo resultado acima, vemos que p^2 + q^2 é um quadrado perfeito

Agradeço pela a ajuda na resolução!

por **Elcioschin** Sáb 13 Abr 2024, 10:38

Correto! Parabéns.

Fiz apenas algumas correções em vermelho para adequar ao modo de escrita no fórum (o sinal de multiplicação pode ser . ou *)

Para facilitar a escrita:

1) Use a tabela SÍMBOLOS ÍTEIS ao lado: √
2) Para expoentes e índices:

xⁿ = x[sup.]n[/sup.] sem os dois pontos

a_n = a[sub.]n[/sub.] sem os dois pontos

Ou então, use o Editor LaTeX do fórum